On local root numbers of abelian varieties

Autour des signes locaux de variétés abéliennes

Lukas Melninkas (1)

1 IRMA - Institut de Recherche Mathématique Avancée

The aim of this thesis is to produce a formula for the local root number of an abelian variety defined over a p-adic field in terms of some other invariants. If A has real multiplication, then it must have either potentially good or potentially toric reduction. In the former case we give formulas for the local root number under the hypothesis that the inertia action on the first étale cohomology group is abelian, in the latter the root number depends only on the type of the Néron model. In the second part we consider the Jacobian of a 5-adic curve of genus 2 such that the inertia action is wild and maximal. We prove a few criteria to identify this setting. Our first formula for the root number of J depends on a particular Weierstrass equation E. Using this equation, in the third part, we show a formula for the Tamagawa number of J. This allows us to express the root number of J independently of E.

Dans cette thèse on s’intéresse à exprimer le signe local d’une variété abélienne A définie sur un corps p-adique K en termes d’autres invariants. Si A a multiplication réelle sur K on montre que la réduction de A est soit potentiellement bonne, soit potentiellement torique. Dans le premier cas on produit des formules du signe local sous l'hypothèse que l'action d'inertie sur le 1er groupe de cohomologie l-adique est abélienne, dans le deuxième cas le signe local dépend seulement du type du modèle de Néron. Dans la deuxième partie on considère la jacobienne J d'une courbe 5-adique de genre 2 telle que l'action d'inertie est sauvage et maximale. On montre des critères pour identifier cette situation. On obtient une formule de signe local de J en termes d'une équation de Weierstrass particulière E de la courbe. Dans la troisième partie on calcule le nombre de Tamagawa de J en termes de E. Ceci nous permet d'obtenir une formule du signe local de J indépendante de l'équation E.

Mots clés: Abelian varieties; Hyperelliptic curves; Local root numbers; Galois representations; Ramification

Mots clés: Variétés abéliennes; Coubes hyperelliptiques; Signes locaux; Représentations galoisiennes; Ramification

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Lukas Melninkas. On local root numbers of abelian varieties. General Mathematics [math.GM]. Université de Strasbourg, 2021. English. ⟨NNT : 2021STRAD014⟩. ⟨tel-03258699v3⟩