On the uncertainty principle for orthonormal families of $L^2 (R)$

Sur le principe d'incertitude pour les familles orthonormales de $L^2(R)$

Anne de Roton (1) , Bahman Saffari (2) , Harold S. Shapiro (3) , Gérald Tenenbaum (1)

1 IECL - Institut Élie Cartan de Lorraine
2 Département de Mathématiques-Université de Paris XI
3 Université de Suède

A result of uncertainty principle type due to H.S. Shapiro states that, given an infinite orthonormal family of L^2(R), there is no square integrable function uniformly dominating all functions and also all their Fourier transforms. However, Shapiro conjectured the existence of an orthonormal basis of L^2(R) such that all elements and all their Fourier transforms are uniformly dominated by a constant multiple of r(x):=1/ (1 + |x|)^(1/2}. In this work, we provide a proof of Shapiro's uncertainty principle and we confirm his conjecture in a strong form, where one of the two upper bounds is replaced by a function with arbitrarily fast decay. We also show that, for a certain, natural type of basis, the initial bound is optimal. Finally, we construct an orthonormal family of $L^2(\r)$ all of whose elements and all their Fourier transforms are dominated at infinity by a function s(x) with decay strictly faster than r(x), but which is not square-integrable in a neighbourhood of the origin.

Un résultat de type principe d'incertitude dû a H.S. Shapiro stipule que, étant donnée une famille orthonormale infinie de L 2 (R), il n'existe aucune fonction de carré intégrable dominant uniformément à la fois tous les vecteurs et toutes leurs transformées de Fourier. Shapiro a cependant conjecturé l'existence d'une base orthonormale de L^2 (R) dont les éléments et toutes leurs transformées de Fourier sont uniformément dominés par un multiple constant de r(x) := 1/ (1 + |x|)^(1/2}. Dans ce travail, nous donnons une démonstration du principe d'incertitude de Shapiro et nous établissons sa conjecture sous une forme forte, dans laquelle l'un des deux majorants uniformes est remplacé par une fonction de décroissance arbitrairement rapide. Nous montrons également que, pour un certain type naturel de base, la majoration initiale est optimale. Enfin, nous construisons une famille orthonormale infinie de L^2 (R) dominée à l'infini ainsi que sa transformée de Fourier par une fonction s(x) de décroissance strictement plus rapide que r(x), mais qui n'est pas de carré intégrable au voisinage de l'origine.

Mots clés: théorème du parapluie.; transformation de Fourier; Familles orthonormales de $L^2$ (R); décroissance exponentielle

Domaines: Analyse classique [math.CA]

Anne de Roton, Bahman Saffari, Harold S. Shapiro, Gérald Tenenbaum. Sur le principe d'incertitude pour les familles orthonormales de $L^2(R)$. L'Enseignement Mathématique , 2016, 62 (1-2), pp.285-300. ⟨hal-01200595v2⟩