On orthonormal families from L^2 (R)

Sur les familles orthonormales de L^2 (R)

Anne de Roton (1) , Bahman Saffari (2) , Harold S. Shapiro (3) , Gérald Tenenbaum (1)

1 Analyse
2 Département de Mathématiques-Université de Paris XI
3 Université de Suède

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Un résultat de type principe d'incertitude dû a H.S. Shapiro stipule que, étant donnée une famille orthonormale infinie de L 2 (R), il n'existe aucune fonction de carré intégrable dominant uniformément à la fois tous les vecteurs et toutes leurs transformées de Fourier. Shapiro a cependant conjecturé l'existence d'une base orthonormale de L^2 (R) dont les éléments et toutes leurs transformées de Fourier sont uniformément dominés par un multiple constant de r(x) := 1/ (1 + |x|)^(1/2}. Dans ce travail, nous donnons une démonstration du principe d'incertitude de Shapiro et nous établissons sa conjecture sous une forme forte, dans laquelle l'un des deux majorants uniformes est remplacé par une fonction de décroissance arbitrairement rapide. Nous montrons également que, pour un certain type naturel de base, la majoration initiale est optimale. Enfin, nous construisons une famille orthonormale infinie de L^2 (R) dominée à l'infini ainsi que sa transformée de Fourier par une fonction s(x) de décroissance strictement plus rapide que r(x), mais qui n'est pas de carré intégrable au voisinage de l'origine.

Mots clés: décroissance exponentielle; transformation de Fourier; Familles orthonormales de L^2 (R); théorème du parapluie.

Domaines: Analyse classique [math.CA]

Anne de Roton, Bahman Saffari, Harold S. Shapiro, Gérald Tenenbaum. Sur les familles orthonormales de L^2 (R). 2015. ⟨hal-01200595v1⟩