Spectrum of p-adic differential equations

Spectre d'équations différentielles p-adiques

Tinhinane Amina Azzouz (1)

1 IMAG - Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck

Differential equations constitute an important tool for theinvestigation of algebraic and analytic varieties, over thecomplex and the p-adic numbers. In the p-adic setting, theypresent phenomena that do not appear in the complex case. Indeed, theradius of convergence of the solutions of a linear differential equation,even without presence of poles. The knowledge of that radius permits to obtain several interestinginformations about the equation. More precisely, since the works ofF. Baldassarri, we know how to associate a radius of convergece to allpoint of a p-adic curve in the sense of Berkovich endowed with aconnexion. Recent works of F. Baldassarri, K.S. Kedlaya, J. Poineau, etA. Pulita have proved that this radius behave in a very controlledway. The radius of convergence can be refined using subsidiary radii,that are known to have similar properties. In order to push forward the study, we introduce a geometric object that refine this radius, thespectrum in the sense of Berkovich of a differential equation.In the present thesis, we define the spectrum of a differentialequation and provide its first properties. We also compute the spectraof some classes of differential modules: differential modules ofa differential équation with constant coefficients, singular regulardifferential modules and at last differential modules over the field ofLaurent power series.

Les équations différentielles constituent un important outil pour l'étude des variétés algébriques et analytiques, sur les nombres complexes et p-adiques. Dans le cas p-adique, elles présentent des phénomènes qui n'apparaissent pas dans le cas complexe. En effet, le rayon de convergence des solutions d'une équation différentielle linéaire peut être fini, et cela même en l'absence des pôles. La connaissance de ce rayon permet d’obtenir de nombreuses informations intéressantes sur l’équation. Plus précisément, depuis les travaux de F. Baldassarri, on sait associer un rayon de convergence à tout point d’une courbe p-adique au sens de Berkovich munie d’une connexion. Des travaux récents de F. Baldassarri, K. Kedlaya, J. Poineauet A. Pulita ont révélé que ce rayon se comporte de manière très contrainte. Afin de pousser l'étude, on introduit un objet géométrique qui raffine ce rayon, le spectre au sens de Berekovich d'une équation différentielle.Dans ce mémoire de thèse, nous définissons le spectre d'un module différentiel et donnons ses premières propriétés. Nous calculons aussi les spectres de quelques classes de modules différentiels: modules différentiels d'une équations différentielles à coefficients constants, modules différentiels singuliers réguliers et enfin modules différentiels sur un corps des séries de Laurent.

Mots clés: Spectral theory; Berkovich spaces; P-Adic differential equations

Mots clés: Théorie spectrale; Espaces de Berkovich; Équations differentielles p-Adiques

Domaines: Mathématiques générales [math.GM]

Tinhinane Amina Azzouz. Spectre d'équations différentielles p-adiques. Mathématiques générales [math.GM]. Université Montpellier, 2018. Français. ⟨NNT : 2018MONTS033⟩. ⟨tel-01853794v2⟩