A functorial description of the Morava K-theories of elementary abelian 2-groups

Une description fonctorielle des K-théories de Morava des 2-groupes abéliens élémentaires

Quyet Nguyen L.C. (1)

1 LAREMA - Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques

The aim of this PhD thesis is to study, from a functorial point of view, the mod $2$ Morava $K$-theories of elementary abelian $2$-groups. Namely, we study the covariant functors $V \mapsto K(n)^*(BV^{\sharp})$ for the prime $p=2$ and $n$ a positive integer. The case $n=1$, which follows directly from the work of Atiyah on topological $K$-theory, gives us a coanalytic functor which contains no non-constant polynomial sub-functor. This is very different from the case $n>1$, where the above-mentioned functors are analytic. The theory of Henn-Lannes-Schwartz provides a correspondence between analytic functors and unstable modules over the Steenrod algebra. We determine the unstable module corresponding to the analytic functor $V \mapsto K(2)^*(BV^{\sharp})$, by studying the relation between this functor and the Hopf ring structure of the homology of the $\Omega$-spectrum associated to the theory $K(2)^*(-)$.

Le but de cette thèse est l'étude, d'un point de vue fonctoriel, des $K$-théories de Morava modulo $2$ des $2$-groupes abéliens élémentaires. Autrement dit, nous étudions les foncteurs covariants $V \mapsto K(n)^*(BV^{\sharp})$ pour le premier $p=2$ et $n$ un entier positif. Le cas $n=1$, qui résulte directement du travail d'Atiyah sur la K-théorie topologique, nous donne un foncteur coanalytique qui ne possède aucun sous-foncteur polynomial non-constant. Il est très différent du cas $n>1$, où les foncteurs mentionnés ci-dessus s'avèrent être analytiques. La théorie de Henn-Lannes-Schwartz fournit une correspondance entre les foncteurs analytiques et les modules instables sur l'algèbre de Steenrod. Nous déterminons le module instable correspondant au foncteur analytique $V \mapsto K(2)^*(BV^{\sharp})$, en étudiant la relation entre ce foncteur et la structure d'anneau de Hopf de l'homologie du $\Omega$-spectre associé à la théorie $K(2)^*(-)$.

Mots clés: Morava K-theory; formal group law; functor category; unstable module; unstable Hopf algebra; Hopf ring; extension group

Mots clés: K-théorie de Morava; loi de groupe formel; catégorie des foncteurs; module instable; algèbre de Hopf instable; anneau de Hopf; groupe d'extensions

Domaines: Mathématiques [math]

Quyet Nguyen L.C.. Une description fonctorielle des K-théories de Morava des 2-groupes abéliens élémentaires. Mathématiques [math]. Université d'Angers, 2017. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01565626v1⟩