The Critical Density for Activated Random Walks is always less than 1
La densité critique du modèle des marches aléatoires activées est toujours inférieure à 1
Résumé
Activated Random Walks, on $\mathbb{Z}^d$ for any $d\geqslant 1$, is an interacting particle system, where particles can be in either of two states: active or frozen. Each active particle performs a continuous-time simple random walk during an exponential time of parameter $\lambda$, after which it stays still in the frozen state, until another active particle shares its location, and turns it instantaneously back into activity. This model is known to have a phase transition, and we show that the critical density, controlling the phase transition, is less than one in any dimension and for any value of the sleep rate $\lambda$. We provide upper bounds for the critical density in both the small $\lambda$ and large $\lambda$ regimes.
Le modèle des marches aléatoires activées, sur $\mathbb{Z}^d$ pour $d\geqslant 1$, est un système de particules en interaction dans lequel les particules peuvent être ou bien actives ou bien endormies. Chaque particule active effectue une marche aléatoire simple en temps continu pendant un temps exponentiel de paramètre $\lambda$, après quoi elle s'endort et cesse de bouger, jusqu'à ce qu'une autre particule partage le même emplacement, ce qui la réveille instantanément. Ce modèle présente une transition de phase, et nous montrons que la densité critique qui contrôle cette transition est strictement inférieure à 1 en toute dimension et pour toute valeur du taux d'endormissement $\lambda$. Nous donnons des bornes supérieures sur la densité critique dans les deux régimes $\lambda$ petit et $\lambda$ grand.
Domaines
Probabilités [math.PR]
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