Block decomposition of the category of l-modular smooth representations of finite length of GL(m,D)

Décomposition en blocs de la catégorie des représentations l-modulaires lisses de longueur finie de GL(m,D)

Bastien Drevon (1) , Vincent Sécherre (1)

1 LMV - Laboratoire de Mathématiques de Versailles

Let F be a non-Archimedean locally compact field of residue characteristic p, let G be an inner form of GL(n,F) with n>0, and let l be a prime number different from p. We describe the block decomposition of the category of finite length smooth representations of G with coefficients in an algebraically closed field of characteristic l. Unlike the case of complex representations of an arbitrary p-adic reductive group and that of l-modular representations of GL(n,F), several non-isomorphic supercuspidal supports may correspond to the same block. We describe the (finitely many) supercuspidal supports corresponding to a given block. We also prove that a supercuspidal block is equivalent to the principal (that is, the one which contains the trivial character) block of the multiplicative group of a suitable division algebra, and we determine those irreducible representations having a nontrivial extension with a given supercuspidal representation of G.

Soit F un corps localement compact non archimédien de caractéristique résiduelle p, soit G une forme intérieure de GL(n,F) avec n>0, et soit l un nombre premier différent de p. Nous décrivons la décomposition en blocs de la catégorie des représentations lisses et de longueur finie de G à coefficients dans un corps algébriquement clos de caractéristique l. Contrairement au cas des représentations complexes d'un groupe réductif p-adique quelconque et au cas des représentations l-modulaires de GL(n,F), à chaque bloc de cette décomposition correspond non pas un unique support supercuspidal, mais une réunion finie de tels supports, que nous décrivons. Nous prouvons également qu'un bloc supercuspidal est équivalent au bloc principal (c'est-à-dire le bloc contenant le caractère trivial) du groupe multiplicatif d'une algèbre à division convenable, et nous déterminons les représentations irréductibles ayant une extension non scindée avec une représentation supercuspidale de G donnée.

Mots clés: Bloc; Extension; Longueur; Réduction mod l; Représentation supercuspidale; Type

Domaines: Théorie des représentations [math.RT]

Bastien Drevon, Vincent Sécherre. Décomposition en blocs de la catégorie des représentations l-modulaires lisses de longueur finie de GL(m,D). Annales de l'Institut Fourier, 2023, 73 (6), pp.2411-2468. ⟨10.5802/aif.3572⟩. ⟨hal-03137745v2⟩