Central limit theorem for a critical multi-type branching process in random environment

Théorème limite pour un processus de branchement multi-type en environnement aléatoire

E. Le Page (1) , M. Peigné (2) , C. Pham (2)

1 UBS - Université de Bretagne Sud
2 IDP - Institut Denis Poisson

Let (Z n) n≥0 with Z n = (Z n (i, j)) 1≤i,j≤p be a p multi-type critical branching process in random environment, and let M n be the expectation of Z n given a fixed environment. We prove theorems on convergence in distribution of sequences of branching processes Zn |Mn| /|Z n | > 0 and ln Zn √ n /|Z n | > 0. These theorems extend similar results for single-type critical branching process in random environment.

Soit (Z n) n≥0 , avec Z n = (Z n (i, j)) 1≤i,j≤p, un processus de branchement multi-type et critique en environnement aléatoire. Soit M n la matrice moyenne de Z n à environnement fixé. Nous démontrons des théorèmes de convergence en distribution des suites (Zn/ |Mn| ) et ( Zn /√ n) conditionnellement à la non extinction (|Z n | > 0). Ces théorèmes étendent dans le cadre multi-type des résultats antérieurs connus pour des processus uni-type.

Mots clés: central limit theorem; multi-type branching process; random environments; critical case

Domaines: Probabilités [math.PR]

E. Le Page, M. Peigné, C. Pham. Central limit theorem for a critical multi-type branching process in random environment. Tunisian Journal of Mathematics, 2021, ⟨10.2140/tunis.2021.3.801⟩. ⟨hal-02873641v2⟩