Circular annihilators and Greenberg conjecture
Annulateurs circulaires et conjecture de Greenberg
Résumé
Given a real abelian field F with group G and an odd prime number ℓ, we define the circular subgroup of the pro-ℓ-group of logarithmic units and we show that for any Galois morphism ρ from the pro-ℓ-group of logarithmic units to Zℓ [G ], the image of the circular subgroup annihilates the ℓ-group of logarithmic classes. We deduce from this a proof of the logarithmic version of the Solomon conjecture.
Using finally the deployment theorem of the tame ramification above the cyclotomic Zℓ-extension, we show that the same annihilation result holds for the image of the pro-ℓ-group of universal norms. This proves the Greenberg conjecture on the vanishing of the lamda invariant in the semi-simple case ℓ ∤ [F : Q], when the logarithmic class group of F is cyclic.
Étant donnés un corps abélien réel F de groupe G et un nombre premier impair ℓ, nous définissons le sous-groupe circulaire du pro-ℓ-groupe des unités logarithmiques et nous montrons que pour tout morphisme galoisien ρ du groupe des unités logarithmiques dans Zℓ [G ], l'image du sous-groupe circulaire annule le ℓ-groupe des classes logarithmiques. Nous en déduisons une preuve de l'analogue logarithmique de la conjecture de Solomon.
Utilisant enfin le théorème de déploiement de la ramification modérée au-dessus de la Zℓ-extension cyclotomique, nous prouvons que le même résultat d'annulation vaut pour l'image du pro-ℓ-groupe des normes universelles; ce qui démontre en particulier la conjecture de Greenberg dans le cas semi-simple ℓ ∤ [F : Q], lorsque le groupe des classes logarithmiques est cyclique.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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