Surfaces quadratiques à base d'Algèbres Géométriques Conforme

Stéphane Breuils (1) , Vincent Nozick (1) , Laurent Fuchs (2)

1 LIGM - Laboratoire d'Informatique Gaspard-Monge
2 SIC

Les Algèbres Géométriques constituent un outil intuitif et performant pour représenter et manipuler des objets géométriques ainsi que pour calculer les intersections entre plusieurs objets géométriques. Parmi les Algèbres Géométriques les plus courantes figure l'Algèbre Géométrique Conforme qui permet de représenter des objets ronds (cercles et sphères) et plats (droites et plans) de façon compacte et élégante. Dans l'Algèbre Géométrique Conforme, les objets plats se construisent comme un objet rond dont on a remplacé un point de construction par un point à l'infini. Cela a pour effet de voir les objets plats comme des objets ronds avec une courbure nulle. La structure de ces objets plats n'est pas différentes de celles des objets ronds (une droite et un cercle de courbure nulle). Tous ces objets se construisent avec le nombre minimum de points de contrôle nécessaires à leur définition, ou bien par leur formule implicite communément utilisée en algèbre linéaire. Mais, contrairement à l'algèbre linéaire, ces objets se manipulent (transformations rigides) tous avec exactement les mêmes opérateurs, indifféremment de leur type. Enfin, l'intersection entre ces objets se calcule elle aussi avec un unique opérateur. En revanche, la diversité des objets exprimés dans cette algèbre se limite à quelques objets (sphères, plans, cercles, droites, ...). Dans cet article, nous nous intéressons à une extension de l'Algèbre Géométrique Conforme qui permet de représenter et manipuler les surfaces quadriques, l'Algèbre Géométrique Conforme Quadrique. Les surfaces quadratiques suscitent de plus en plus d'attention dans la communauté des Algèbres Géométriques et plusieurs algèbres ont été proposées pour représenter et manipuler ces surfaces. En nous plaçant dans l'Algèbre Géométrique Conforme Quadrique, nous étudions les objets ronds et plats de cette algèbre. L'objectif est, dans un premier temps, de retrouver les objets ronds et plats de l'Algèbre Géométrique Conforme et ensuite d'explorer quels sont les nouveaux objets ronds et plats que l'on peut définir et manipuler avec l'Algèbre Géométrique Conforme Quadrique.

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]

Stéphane Breuils, Vincent Nozick, Laurent Fuchs. Surfaces quadratiques à base d'Algèbres Géométriques Conforme. GTMG 2019, Mar 2019, Toulouse, France. ⟨hal-02262159⟩