Abstract : We study the concavity of the dispersion relation $q\mapsto \omega_{\mathbf{q}}$ of the bosonic excitations of a three-dimensional spin-$1/2$ Fermi gas in the Random Phase Approximation (RPA). In the limit of small wave numbers $q$ we obtain analytically the spectrum up to order $5$ in $q$. In the neighborhood of $q=0$, a change in concavity between the convex BEC limit and the concave BCS limit takes place at $\Delta/\mu\simeq0.869$ [$1/(k_F a)\simeq-0.144$], where $a$ is the scattering length between opposite spin fermions, $k_F$ is the Fermi wave number and $\Delta$ the gap according to BCS theory, and $\mu$ is the chemical potential. At that point the branch is concave due to a negative fifth-order term. Our results are supplemented by a numerical study which shows the evolution of the border between the zone of the $(q,\Delta)$ plane where $q\mapsto \omega_{\mathbf{q}}$ is concave and the zone where it is convex.
Résumé : Nous étudions la concavité de la relation de dispersion $q\mapsto \omega_{\mathbf{q}}$ des excitations bosoniques d'un gaz tridimensionnel non polarisé de fermions de spin $1/2$ telle que décrite par l'Approximation de la Phase Aléatoire (RPA). Dans la limite des faibles nombres d'onde $q$ nous obtenons le spectre analytiquement jusqu'à l'ordre $5$ en $q$. Au voisinage de $q=0$, un changement de concavité entre une branche concave dans la limite BCS et convexe dans la limite CBE se produit en $\Delta/\mu\simeq0,869$ ($1/(k_F a)\simeq-0,144$), où $a$ est la longueur de diffusion entre fermions de spins opposés, $k_F$ le nombre d'onde de Fermi et $\Delta$ le {\sl gap} d'après la théorie BCS, et $\mu$ le potentiel chimique. En ce point, la branche est concave du fait d'un terme d'ordre $5$ négatif. Ces résultats sont complétés par une étude numérique qui montre l'évolution dans tout le plan $(q,\Delta)$ de la frontière entre la zone où $q\mapsto \omega_{\mathbf{q}}$ est concave et celle où $q\mapsto \omega_{\mathbf{q}}$ est convexe.
