IMPROPER POISSON LINE PROCESS AS SIRSN IN ANY DIMENSION

Le processus de droites de Poisson impropre génère un SIRSN en toute dimension

Jonas Kahn (1)

1 LPP - Laboratoire Paul Painlevé - UMR 8524

Aldous has introduced a notion of scale-invariant random spatial network (SIRSN) as a mathematical formalization of road networks. Intuitively, those are random processes that assign a route between each pair of points in Euclidean space, while being invariant under rotation, translation, and change of scale, and such that the routes are not too long and mainly on ``main roads''. The only known example was somewhat artificial since invariance had to be added at the end of the construction. We prove that the network of geodesics in the random metric space generated by a Poisson line process marked by speeds according to a power law is a SIRSN, in any dimension. Along the way, we establish bounds comparing Euclidean balls and balls for the random metric space. We also prove that in dimension more than two, the geodesics have ``many directions'' near each point where they are not straight.

Aldous a introduit la notion de réseau spatial aléatoire invariant d'échelle (SIRSN: scale-invariant random spatial network) pour formaliser les réseaux routiers. Intuitivement, ce sont des processus aléatoires qui assignent un itinéraire entre chaque paire de points de l'espace euclidien, en étant invariant par rotation, translation, et changement d'échelle, et tels que les itinéraires ne soient pas trop longs et emprutent principalement des «autoroutes». Le seul exemple connu était un peu artificiel comme l'invariance devait être ajoutée à la fin de la construction. Nous prouvons que le réseau des géodésiques de l'espace métrique aléatoire généré par un processus de droites de Poisson marquées par des vitesses limite en loi de puissance est un SIRSN, en toute dimension. Ce faisant, nous établissons des bornes comparant le diamètre des boules euclidiennes et des boules pour notre espace métrique. Nous montrons également qu'en dimension au moinss trois, les géodésiques ont «plein de directions» près de tout point où elles ne sont pas droites.

Mots clés: random metric space; Poisson Line process; many directions; SIRSN; $\Pi$-geodesic; stochastic geometry; spatial network; scale-invariant random spatial network

Domaines: Probabilités [math.PR]; Géométrie métrique [math.MG]; Statistiques [math.ST]

Jonas Kahn. IMPROPER POISSON LINE PROCESS AS SIRSN IN ANY DIMENSION. Annals of Probability, 2016, 44 (4), pp.2694-2725. ⟨hal-01131107v3⟩