Unlikely Intersections and multiple roots of sparse polynomials

Francesco Amoroso (1) , Martin Sombra (2) , Umberto Zannier (3)

1 LMNO - Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme
2 UNIROUEN - Université de Rouen Normandie
3 SNS - Scuola Normale Superiore di Pisa

We present a structure theorem for the multiple non-cyclotomic irreducible factors appearing in the family of all univariate polynomials with a given set of coefficients and varying exponents. Roughly speaking, this result shows that the multiple non-cyclotomic irreducible factor of a sparse polynomial, are also sparse. To obtain this, we give a version of a theorem of Bombieri and Zannier on the intersection of a subvariety of codimension 2 of the multiplicative group with torsion curves, with an explicit dependence on the height of the subvariety. We also apply this to obtain a result in the direction of a conjecture of Bolognesi and Pirola.

Le calcul du pgcd des polynômes lacunaires repose sur un cas particulier, démontré par Bombieri-Zannier en 1999, d'une conjecture centrale en géométrie diophantienne, la conjecture de Zilber et Pink. Le résultat de Bombieri et Zannier n’est pas explicite en fonction de la hauteur des polynômes. Dans cet article nous montrons une version explicite de ce résultat et l’ont appliqué au calcul du pgcd de polynômes lacunaires de petite hauteur. Cela a des applications pour ce qui concerne les racines multiples de polynômes lacunaires. Une autre application concerne les intersections anomales du plan osculateur d’une courbe torique, en liaison avec une conjecture de Bolognesi et Pirola.

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

Francesco Amoroso, Martin Sombra, Umberto Zannier. Unlikely Intersections and multiple roots of sparse polynomials. 2015. ⟨hal-01081416v2⟩