Non-trapping condition for semiclassical Schrödinger operators with matrix-valued potentials.

Condition de non-capture pour des opérateurs de Schrödinger semi-classiques à potentiels matriciels.

Thierry Jecko (1)

1 IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes

We consider semi-classical Schrödinger operators with matrix-valued, long-range, smooth potential, for which different eigenvalues may cross on a codimension one submanifold. We denote by $h$ the semiclassical parameter and we consider energies above the bottom of the essential spectrum. Under some invariance condition on the matricial structure of the potential near the eigenvalues crossing and some structure condition at infinity, we prove that the boundary values of the resolvent at energy $\lambda$, as bounded operators on suitable weighted spaces, are $O(h^{-1})$ if and only if $\lambda$ is a non-trapping energy for all the Hamilton flows generated by the eigenvalues of the operator's symbol.

On considère des opérateurs de Schrödinger semi-classiques à potentiels matriciels, lisses et de longue portée, dont différentes valeurs propres peuvent se croiser sur une sous-variété de codimension une. On note par h le paramètre semi-classique et on s’intéresse aux énergies strictement supérieures au bas du spectre essentiel. Sous une certaine condition d’invariance le long du croisement, portant sur la structure matricielle du potentiel, et sous une certaine condition de structure à l’infini, on démontre que les valeurs aux bords de la résolvante à l’énergie λ, vues comme opérateurs bornés sur des espaces à poids convenables, sont O(h−1) si et seulement si λ est une énergie non-captive pour le flot hamiltonien générée par chaque valeur propre du symbole de l’opérateur.

Mots clés: Shrödinger matrix operators; eigenvalues crossing; non-trapping condition; coherent states; Egorov's theorem; Mourre theory; semiclassical resolvent estimates; semiclassical measure

Mots clés: Condition de non-capture; croisement de valeurs propres; opérateur de Schrödinger matriciel; théorie de Mourre; estimations semi-classiques de résolvante; états cohérents; théorème d’Egorov; mesure semi-classique

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]; Physique mathématique [math-ph]; Physique mathématique [math-ph]; Théorie spectrale [math.SP]

Thierry Jecko. Non-trapping condition for semiclassical Schrödinger operators with matrix-valued potentials.. Mathematical Physics Electronic Journal, 2005, 11, pp.2. ⟨hal-00001305v2⟩