Solitary waves in the excitable Burridge-Knopoff model
Résumé
The Burridge-Knopoff model is a lattice differential equation describing a chain of blocks connected by springs and pulled over a surface.
This model was originally introduced to investigate nonlinear effects arising in the dynamics of earthquake faults.
One of the main ingredients of the model is a
nonlinear velocity-dependent friction force between the blocks and the fixed surface. For some classes of non-monotonic friction forces, the system displays a large response to perturbations above a threshold, which is characteristic of excitable dynamics.
Using extensive numerical simulations, we show that this response corresponds to the propagation of a solitary wave
for a broad range of friction laws (smooth or nonsmooth) and parameter values.
These solitary waves develop shock-like profiles at large coupling (a phenomenon connected with the existence of weak solutions in a formal continuum limit)
and propagation failure occurs at low coupling.
We introduce a simplified piecewise linear friction law (reminiscent of the McKean nonlinearity for excitable cells) which allows us to
obtain analytical expression of solitary waves and study some of their qualitative properties, such as wavespeed and propagation failure.
We propose a possible physical realization of this system as a chain of impulsively forced mechanical oscillators.
In certain parameter regimes, non-monotonic friction forces can also give rise to bistability between the ground state and limit-cycle oscillations
and allow for the propagation of fronts connecting these two stable states.
Le modèle de Burridge-Knopoff est un système d’équations différentielles décrivant
une chaîne de blocs reliés par des ressorts et tirés sur une surface. Ce modèle a été introduit à
l’origine pour étudier les effets non linéaires intervenant dans la dynamique de failles sismiques.
L’un des principaux ingrédients du modéle est l’existence d’une force de frottement non linéaire
qui dépend de la vitesse entre les blocs et la surface fixe. Pour certaines classes de forces de
frottement non monotones, le système présente une réponse importante aux perturbations au-
dessus d’un certain seuil; une des caractéristiques des systèmes excitables. A l’aide de simulations
numériques, nous montrons que cette réponse est associée à la propagation d’une onde solitaire
pour une large gamme de lois de frottement (régulières ou non régulières) et de valeurs de
paramètres. Ces ondes solitaires développent des profils de type choc à grand couplage (un
phénomène lié à l’existence de solutions faibles dans une limite formelle continue) et un échec
de propagation se produit à faible couplage. Nous introduisons une loi de friction simplifiée,
linéaire par morceaux (rappelant la non linéarité de McKean pour les cellules excitables), qui
nous permet d’obtenir l’expression analytique des ondes solitaires et d’étudier certaines de leurs
propriétés qualitatives, telles que la vitesse de l’onde et l’échec de propagation. Nous proposons
une réalisation physique possible de ce système comme une chaîne d’oscillateurs mécaniques forcés
par impulsion. Dans certains régimes de paramètres, des forces de frottement non monotones
peuvent également donner lieu à une bistabilité entre un état stationnaire et un cycle limite et
permettre la propagation de fronts reliant ces deux états stables.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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