Sheaf techniques and symplectic geometry
Techniques de faisceaux et géométrie symplectique
Résumé
In this thesis, we study the algebra structures and geometry of the Chiu-Tamarkin complex, which is a tool to study symplectic geometry using the microlocal theory of sheaves. The main results of the thesis are organized into two parts: structure and computation.
On the structure part, we first review the $\bZ/\ell$-equivariant Chiu-Tamarkin complex $C_{\ell,T}(U,\bK)$.
We exhibit a variant of the Yoneda product. It generalizes the usual cup product on the cohomology ring of a manifold and the Chas-Sullivan product on the string topology. Next, we define the $S^1$-equivariant Chiu-Tamarkin complex $C^{S^1}_T(U,\bK)$ using a cyclic structure on the microlocal kernel. Finally, we construct different symplectic capacities associated with different versions of the Chiu-Tamarkin complex. In particular, the cyclic structure explains why we need $\bZ/\ell$-version on the proof of the contact non-squeezing theorem.
On the computational part, we present the computations of the Chiu-Tamarkin complex for convex toric domains and unit disk bundles. For convex toric domains, we demonstrate a structure theorem that helps us to compute the capacities. The computation implies that our capacities are the same as the Gutt-Hutchings capacities for convex toric domains. For the unit disk bundle, we prove a Viterbo isomorphism, which is an algebra isomorphism between the Chiu-Tamarkin complex of a unit disk bundle and the string topology of its base.
Dans cette thèse, nous étudions la structure algébrique et la géométrie du complexe de Chiu-Tamarkin, qui est un outil pour étudier la géométrie symplectique à l'aide de la théorie microlocale des faisceaux. Les principaux résultats de la thèse sont organisés en deux parties : structure et calcul.
Pour la partie structure, nous rappelons d'abord le complexe de Chiu-Tamarkin $\bZ/\ell$-équivariant $C_{\ell,T}(U,\bK)$. Nous exposons une variante du produit de Yoneda. Il généralise le cup-produit habituel sur l'anneau de cohomologie d'une variété et le produit de Chas-Sullivan sur la espace des lacets. Ensuite, nous définissons le complexe de Chiu-Tamarkin $S^1$-équivariant $C^{S^1}_T(U,\bK)$ en utilisant une structure cyclique sur le noyau microlocal. Enfin, nous construisons différentes capacités symplectiques associées à différentes versions du complexe de Chiu-Tamarkin. En particulier, la structure cyclique explique pourquoi nous avons besoin de la version $\bZ/\ell$ pour la preuve du théorème de non-squeezing de contact.
Pour la partie calcul, nous présentons les calculs du complexe de Chiu-Tamarkin pour les domaines toriques convexes et les fibrés en disques unitaires. Pour les domaines toriques convexes, nous démontrons un théorème de structure qui nous aide à calculer les capacités. Le calcul implique que nos capacités sont les mêmes que les capacités de Gutt-Hutchings pour les domaines toriques convexes. Pour les fibrés en disques unitaires, nous prouvons un isomorphisme de Viterbo, qui est un isomorphisme d'algèbres entre le complexe de Chiu-Tamarkin du fibré de disques unitaires et la cohomologie de l'espace des lacets de la base.
Domaines
Géométrie symplectique [math.SG]
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)