Robust control of time-varying systems
Contrôle robuste des systèmes variant dans le temps
Résumé
This PhD thesis brings two contributions to the field of System Control: the first
one deals with the attitude control of a generic fully actuated rigid object rotating
in space; the second one concerns methods of analysis and synthesis of controllers
for Linear Time Varying systems.
The first contribution develops in detail the modeling of the tracking of a theoretically
feasible attitude trajectory performed by this generic rotating object, using
the unit quaternion to model the attitude. The rotational motion is intrinsically
nonlinear (trigonometric), with singularities related to its periodicity, implying the
non existence of a Linear Time Invariant controller able to make the closed loop
system globally stable. By taking into account these specificities, the synthesis of
nonlinear controllers enabling to obtain an almost global asymptotic stability of
the closed loop system is then developed. Perspectives to improve this result with
integrators to cancel out static and drag errors are finally proposed.
The question of tuning these non-linear controllers to simultaneously meet several
performance criteria leads to the second contribution: the opportunity to extend
to Linear Time Varying systems the notions of pole placement and input/output
performances analysis of Linear Time Invariant systems. The proposed method
concerns systems with time varying parameters bounded in a convex set described
by a polytope. It allows to write the performance analysis problems in the form
of Differential Linear Matrix Inequalities, then to convert them into Linear Matrix
Inequalities for the static state feedback synthesis. For this last result, two formulations
are proposed: the first one with a Lyapunov certificate common to all the
requirements; the second one with an added S-variable which allows to simultaneously
search for several Lyapunov certificates, one for each performance requirement
of the multi-objective problem.
This synthesis result is eventually applied to the attitude control problem.
Cette thèse de doctorat apporte deux contributions au champ de l’Automatique :
la première aborde le contrôle d’attitude d’un objet rigide quelconque complètement
commandé tournant dans l’espace ; la seconde concerne des méthodes d’analyse et
de synthèse de contrôleur pour les systèmes Linéaires Variant dans le Temps.
La première contribution développe en détail la modélisation du suivi d’une
trajectoire d’attitude théoriquement réalisable par un objet rigide en rotation, en
utilisant le quaternion unitaire pour modéliser son attitude. Le mouvement de rotation
est intrinsèquement non linéaire (trigonométrique), avec des singularités liées
à sa périodicité, impliquant la non existence de contrôleur linéaire invariant dans le
temps en mesure de rendre le système en boucle fermée globalement stable. En prenant
en compte ces spécificités, la synthèse de contrôleurs non linéaires permettant
d’obtenir une stabilité asymptotique presque globale de la boucle fermée est ensuite
développée. Des perspectives pour améliorer ce résultat avec des intégrateurs pour
annuler les erreurs statiques et de traînage sont finalement proposées.
De la question du réglage de ces contrôleurs non linéaires pour respecter simultanément
plusieurs critères de performances, découle la seconde contribution :
l’opportunité d’étendre aux systèmes Linéaires Variant dans le Temps les notions
de placement de pôles et d’analyse de performances entrées/sorties des systèmes
Linéaires Invariant dans le Temps. La méthode proposée concerne les systèmes aux
paramètres variant dans le temps bornés dans un ensemble convexe décrit par un
polytope. Elle permet d’écrire les problèmes d’analyse de performances sous forme
d’Inégalités Linéaires Matricielles Différentielles, puis de les convertir en Inégalités
Linéaires Matricielles pour la synthèse de contrôleurs par retour d’état statique.
Pour ce dernier résultat, deux formulations sont proposées : la première avec un
certificat de Lyapunov commun à toutes les exigences ; la seconde avec l’ajout d’une
S-variable permet de rechercher simultanément plusieurs certificats de Lyapunov,
un pour chaque exigence de performance du problème multi-objectif.
Ce résultat de synthèse est finalement appliqué au problème du contrôle d’attitude.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)