Quantitative homogenization on percolation clusters and interacting particle systems
Homogénéisation quantitative sur l'amas de percolation et le système de particules
Résumé
This thesis studies the interaction between quantitative homogenization theory and two stochastic models: the supercritical percolation model and interacting particle systems. Stochastic homogenization focuses on large-scale properties in the random environment, and these two models represent generalization in the degenerate random environment and the dynamic random environment, respectively.
In chapters 2 and 3, we study an efficient algorithm for the Dirichlet problem with random coefficients. This algorithm is proposed by Armstrong, Hannukainen, Kuusi and Mourrat, which allows an approximation in $H^1$ for the solution with high precision and low computational cost. We confirm its consistency in chapter 2, then extend it to the supercritical percolation model in chapter 3.
Chapter 4 is devoted to the quantitative homogenization of the semigroup for the random walk on the infinite supercritical percolation cluster. Its probabilistic interpretation is as a quantitative local central limit theorem, and it also implies the convergence rate of the elliptic Green's function. The proof in this chapter combines several quantitative estimates on the percolation model: first-order correctors, flux, two-scaled expansion, and also the cluster density concentration.
In chapters 5 and 6, we develop the homogenization theory for an interacting particle system without gradient condition in continuum configuration space. In chapter 5, we construct this model and prove its variance decay of Gaussian type. In chapter 6, we study its bulk diffusion coefficient and obtain a rate of convergence for the finite-volume approximation. Our strategy is the subadditivity-renormalization approach, and we also develop new functional inequalities adapted to this infinite-dimensional setting.
Cette thèse étudie l'interaction entre la théorie de l'homogénéisation quantitative et deux modèles stochastiques : le modèle de percolation surcritique et les systèmes de particules en interaction. L'homogénéisation stochastique se concentre sur les propriétés à grande échelle dans l'environnement aléatoire, et ces deux modèles représentent respectivement la généralisation dans l'environnement aléatoire dégénéré et dans l'environnement aléatoire dynamique.
Dans les chapitres 2 et 3, nous étudions un algorithme efficace pour le problème de Dirichlet avec des coefficients aléatoires. Cet algorithme est proposé par Armstrong, Hannukainen, Kuusi et Mourrat, qui permet une approximation de $H^1$ pour la solution avec une grande précision et un faible coût numérique. Nous confirmons sa cohérence au chapitre 2, puis nous l'étendons au modèle de percolation surcritique au chapitre 3.
Le chapitre 4 est consacré à l'homogénéisation quantitative du semigroupe pour la marche aléatoire sur l'amas de percolation surcritique infini. Son interprétation probabiliste est le taux pour le théorème de la limite centrale locale, et elle implique également le taux de convergence de la fonction elliptique de Green. La preuve dans ce chapitre combine plusieurs estimations quantitatives sur le modèle de percolation : les correcteurs de premier ordre, le flux, l'expansion à deux échelles, et aussi la concentration de la densité de l'amas.
Dans les chapitres 5 et 6, nous développons la théorie de l'homogénéisation pour un système de particules en interaction sans condition de gradient dans l'espace de configuration du continuum. Dans le chapitre 5, nous construisons ce modèle et prouvons sa variance de type gaussien. Dans le chapitre 6, nous étudions son coefficient de diffusion globale et prouvons la vitesse de l'approximation en volume fini. Notre stratégie est l'approche de sous-additivité-renormalisation et nous développons également quelques nouvelles inégalités fonctionnelles dans l'espace Sobolev sur la configuration.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)