Geometric studies of the interplay between spin and gravity
Études géométriques de l'interaction entre le spin et la gravité
Résumé
This thesis is the conclusion and summaries some of my works carried out at the Centre de Physique Théorique, under the supervision of Serge Lazzarini. Two aspects are presented in the manuscript, both aiming at studying the effect of the spin of elementary particles on otherwise known theories. First is a study of the Lévy-Leblond–Newton (LLN) equation, based on the works [1, 2]. The LLN equation is used to describe the evolution of a quantum system with spin one half that is coupled to its own gravitational potential. After reviewing the (accidental) symmetries in non relativistic Quantum Mechanics, and how to geometrize them with the help of Bargmann structures, we recall what is the Lévy-Leblond equation: it is to the Schrödinger equation what the Dirac equation is to the Klein–Gordon equation. Then, we recall some results of the Schrödinger–Newton (SN) equation, and write down the conserved quantities for this equation. The study of the LLN equation is aimed at describing this system in a fully covariant way, which is done through the help of Bargmann structures. This covariant formulation then helps to derive the dynamical symmetries of the equation, and its conserved quantities. The symmetry group of this equation turns out to be the Schrödinger–Newton group, that was derived to be the symmetry group of the SN equation in [3]. The conserved quantities of the LLN equation are computed, which are compared to the conserved quantities of the SN equation. The second part deals with the trajectory of particles with spin in General Relativity. Giving first an account on the extensive literature on the subject, especially highlighting Souriau’s geometric method to obtain the Mathisson–Papapetrou–Dixon (MPD) equations, we discuss the different possible Spin Supplementary Conditions (SSC) that exist to close the system of MPD equations. We then recall how to derive the Souriau–Saturnini equations from the MPD equations, which describe the trajectory of photons in curved spacetime, assuming the Tulczyjew SSC holds. After reviewing a few applications, we present some works [4, 5], where we have applied these equations to photons, respectively, in a Schwarzschild spacetime, and in a spacetime deformed by gravitational waves. In the first work [4], we looked for, and found, gravitational birefringence. That is, the trajectory, when taking the spin of the photon into account, deviates from the geodesic plane. This deviation depends on the helicity of the photon, and its wavelength. We shall also compare the predictions of [4] to existing literature, and comment about possible experimental observations. The second example [5], a photon in gravitational wave background, consists in determining whether such spin effect could be observed in gravitational interferometry experiments. However, we found that the effect of the laser’s polarisation on the interferometry pattern is many orders of magnitude lower than what we can detect with current technology. We shall also comment about the usefulness to consider the cosmological constant in these computations.
Cette thèse conclut et résume une partie de mes travaux au Centre de Physique Théorique, effectués sous la supervision de Serge Lazzarini. Deux thématiques sont abordées ici, toutes deux essayant de combler les lacunes de théories existantes, en incorporant les effets de spin, ou de polarisation, de particules élémentaires, qui sont souvent négligés.
En premier lieu, nous verrons une étude de l’équation de Lévy-Leblond–Newton (LLN) basée sur les travaux [1, 2]. Cette équation décrit l’évolution d’un système quantique consistant d’une particule élémentaire avec spin soumise à son propre potentiel gravitationnel. Après avoir revu les symétries (accidentelles) en mécanique quantique non relativiste, et comment les géométriser grâce aux structures de Bargmann, nous reverrons ce qu’est l’équation de Lévy-Leblond. Elle est à l’équation de Schrödinger ce que l’équation de Dirac est à l’équation de Klein–Gordon. Ensuite, nous reverrons quelques résultats à propos de l’équation de Schrödinger–Newton (SN), notamment ses symétries et les quantités conservées. Cette étude de l’équation de LLN a pour but de l’écrire d’une manière tout à fait covariante, ce qui est accompli en l’écrivant sur une structure de Bargmann. Cette formulation covariante a l’avantage de faciliter l’étude des symétries dynamiques de l’équation, et de ses quantités conservées. Le groupe de symétrie de cette équation se trouve être le groupe de Schrödinger–Newton, qui a été trouvé comme étant le groupe de symétrie de l’équation de SN [3]. Les quantités conservées de l’équation de LLN seront aussi déduites de cette analyse, et nous les comparerons aux quantités conservées de l’équation de SN.
La deuxième partie du manuscrit traite de la trajectoire des particules élémentaires en relativité générale lorsqu’on ne néglige pas leur spin. Tout d’abord nous reverrons la littérature existante sur ce sujet, notamment en soulignant la méthode géométrique de Souriau pour obtenir les équations de Mathisson–Papapetrou–Dixon (MPD). Ces équations n’étant pas fermées, nous discuterons aussi des différentes conditions supplémentaires sur le spin présentes dans la littérature qui permettent de les compléter. Ensuite, nous rappellerons comment obtenir les équations de Souriau–Saturnini à partir des équations de MPD, et en supposant l’équation supplémentaire de Tulczyjew pour décrire la trajectoire d’un photon avec son spin dans un espace-temps courbe. Après avoir rappelé quelques applications des équations de Souriau–Saturnini, nous présenterons deux résultats issues de [4, 5], où nous avons appliqué ces équations dans, respectivement, un espace-temps de Schwarzshild, puis dans un espace temps déformé par une onde gravitationnelle. La première étude [4] traite de la biréfringence gravitationnelle, c’est-à-dire que lorsqu’on prend la polarisation du photon en considération, sa trajectoire sort du plan géodésique usuel. Nous trouvons que le signe de l’angle que fait la trajectoire avec le plan dépend de l’hélicité du photon, et l’amplitude dépend de sa longueur d’onde et de la masse de l’étoile. La deuxième étude [5] essaye de déterminer si une onde gravitationnelle peut perturber la trajectoire d’un photon suffisamment pour être observable lors des expériences d’interférométries gravitationnelles. Bien que nous trouvions un effet, son ordre de magnitude est largement en dessous de ce que nous pouvons détecter avec la technologie actuelle. Nous commenterons aussi sur l’utilité de la constante cosmologique dans ces calculs.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)