Intrinsic simulations and complexities in automata networks
Simulations intrinsèques et complexités dans les réseaux d’automates
Résumé
The objects at the center of this thesis are discrete dynamical systems, understood through finite automata networks, defined as vectors of local transition functions (so that one function is associated with one automaton). These automata networks can be tools for modeling natural interaction systems (biological networks, particle networks in physics...) and the phenomena they induce. They can also be seen as a model of computation that can be studied per se. These objects are approached through the prism of complexity and (theoretical) simulation, each of these concepts forming the core of a part of the document.
The first part is devoted to the relations between the interaction graph of a network, that represents the influences between its automata, and the underlying dynamics. First, the focus is put on the fixed points problem that aims to understand the information that gives an interaction graph on the number of fixed points of a network, and more precisely on the algorithmic complexity of this counting. Then, our interest is focused on a somewhat opposite property, namely expansiveness. A network is expansive if one can predict its initial configuration by observing only one of its components for a long enough time. In other words, a network is expansive if its dynamics is unstable and if any initial local perturbation has visible repercussions on each automaton. We characterize the interaction graphs that admit an expansive network and study the possibility of a network to be expansive according to several parameters like the size of the alphabet, the "expansiveness time" or the type of the computed functions (linear, abelian...).
The second part is devoted to intrinsic simulation, namely the capacity of a network to contain the behavioral complexity and computational richness of another network. Specifically, we are interested in a specific simulation based on the ability of one network to simulate step by step the dynamics of another network. One of the parameters that is emphasized is the update mode, which represents the time steps in which automata update their state. It is well known that the dynamics of a network strongly depends on update modes. A natural question in this context is to understand what kind of dynamics can be simulated with a given update mode. First, we highlight that a sequentially updated network is less "powerful" than a network updated in parallel. While any dynamics can be simulated by a network evolving in parallel, we show that to be simulated sequentially, it may require larger networks for which we give bounds on the size. Next, we present the characteristics of "complete" networks in the sense that they can simulate all networks of a given size by varying their update modes. Finally, we emphasize several networks of minimum size, or of minimal "simulation time", and study the relations between these two parameters.
Les objets qui se trouvent au centre de cette thèse sont les systèmes dynamiques discrets, appréhendés à travers les réseaux d’automates finis, qui se définissent comme des vecteurs de fonctions locales de transition associées à chaque automate. Ces réseaux d’automates peuvent aussi bien être vus comme un outil pour modéliser des systèmes d’interactions naturels (réseaux biologiques, réseaux de particules physiques…) et les phénomènes qu’ils induisent que comme modèle de calcul que l’on peut étudier per se. Ces objets sont abordés à travers le prisme de la complexité et selon celui de la simulation (théorique), chacun de ces concepts formant le cœur d’une partie du document.
La première partie est consacrée au rapport entre le graphe d’interaction d’un réseau, qui permet de représenter les influences entre ses automates, et la dynamique sous-jacente. Dans un premier temps, le focus est mis sur le problème des points fixes, ou configurations stables du réseau, qui vise à comprendre les informations que donne un graphe d’interaction sur le nombre de points fixes d’un réseau, et plus précisément sur la complexité algorithmique de ce comptage. Dans un second temps, l’intérêt est porté sur une propriété quelque peu opposée, à savoir l’expansivité. Un réseau est expansif si on peut prédire sa configuration de départ en observant une seule de ses composantes pendant suffisamment longtemps. Autrement dit, un réseau est expansif si sa dynamique est instable et que toute perturbation locale initiale a des répercussions visibles sur chaque automate. Nous caractérisons les graphes d’interactions qui admettent un réseau expansif et étudions la possibilité d’un réseau d’être expansif en fonction de plusieurs paramètres comme la taille de l’alphabet, le « temps d’expansivité » ou le type des fonctions calculées (linéaires, abéliennes...).
La seconde partie est consacrée à la simulation intrinsèque, c’est-à-dire la capacité d’un réseau à contenir la complexité comportementale et la richesse calculatoire d’un autre réseau. Plus précisément, nous nous intéressons à une simulation spécifique fondée sur la capacité d’un réseau à simuler pas à pas toute la dynamique d’un autre réseau. L’un des paramètres sur lesquels l’accent est mis est le mode de mise à jour, qui représente les étapes de temps au cours desquelles les automates du réseau mettent à jour leur état. Il est bien connu que la dynamique d’un réseau dépend fortement des modes de mise à jour. Une question naturelle dans ce contexte est de comprendre quel type de dynamique peut être simulé avec un mode de mise à jour donné. Pour commencer, nous mettons en évidence le fait qu’un réseau mis à jour séquentiellement est moins « puissant » qu’un réseau mis à jour en parallèle. Alors que toute dynamique peut-être simulée par un réseau évoluant en parallèle, nous montrons que pour être simulée séquentiellement, elle peut nécessiter des réseaux plus grands dont nous bornons la taille. Ensuite, nous donnons les caractéristiques de réseaux « complets » dans le sens qu’ils peuvent simuler tous les réseaux d’une taille donnée en faisant varier leurs modes de mise à jour. Nous présentons enfin plusieurs réseaux de taille minimale, ou de « temps de simulation » minimal, et étudions les relations entre ces deux paramètres.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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