Estimation des limites d'extrapolation par les lois de valeurs extrêmes. Application à des données environnementales.

Clément Albert 1
1 MISTIS - Modelling and Inference of Complex and Structured Stochastic Systems
Inria Grenoble - Rhône-Alpes, LJK - Laboratoire Jean Kuntzmann, INPG - Institut National Polytechnique de Grenoble
Résumé : Cette thèse se place dans le cadre de la Statistique des valeurs extrêmes. Elle y apporte trois contributions principales. L’estimation des quantiles extrêmes se fait dans la littérature en deux étapes. La première étape consiste à utiliser une approximation des quantiles basée sur la théorie des valeurs extrêmes. La deuxième étape consiste à estimer les paramètres inconnus de l’approximation en question, et ce en utilisant les plus grandes valeurs du jeu de données. Cette décomposition mène à deux erreurs de natures différentes, la première étant une erreur déterministe, dite d’approximation ou encore d’extrapolation, la seconde consituant une erreur d’estimation aléatoire. La première contribution de cette thèse est l’étude théorique de cette erreur d’extrapolation mal connue. Cette étude est menée pour deux types d’estimateurs différents, tous deux cas particuliers de l’approximation par la loi de Pareto généralisée : l’estimateur Exponential Tail dédié au domaine d’attraction de Gumbel et l’estimateur de Weissman dédié à celui de Fréchet. Nous montrons alors que l’erreur en question peut s’interpréter comme le reste d’un développement de Taylor d’ordre un. Des conditions nécessaires et suffisantes sont alors établies de telle sorte que l’erreur tende vers zéro quand la taille de l’échantillon augmente. De manière originale, ces conditionsmènent à une division du domaine d’attraction de Gumbel en trois parties distinctes. En comparaison, l’erreur d’extrapolation associée à l’estimateur de Weissman présente un comportement unifié sur tout le domaine d’attraction de Fréchet. Des équivalents de l’erreur sont fournis et leur comportement est illustré numériquement. La deuxième contribution est la proposition d’un nouvel estimateur des quantiles extrêmes. Le problème est abordé dans le cadre du modèle dit des "lois à queue de type log-Weibull généralisé", où le logarithme de l’inverse du taux de hasard cumulé est supposé à variation régulière étendue. Après une discussion sur les conséquences de cette hypothèse, nous proposons des estimateurs des paramètres du modèle. Ces estimateurs sont alors utilisés afin de construire un nouvel estimateur des quantiles extrêmes. La normalité asymptotique de ce dernier ainsi que celle des paramètres associés est alors établie et leur comportement en pratique est évalué sur données réelles et simulées. La troisième contribution de cette thèse est la proposition d’outils permettant en pratique de quantifier les limites d’extrapolation d’un jeu de données. Ces outils consistent en des estimateurs des erreurs d’extrapolation associées aux approximations Exponential Tail et Weissman. Ils se basent sur les deux contributions précédentes. Dans un premier temps, nous utilisons l’étude théorique faite des différentes erreurs d’extrapolation pour proposer des équivalents de ces dernières. Ces nouveaux équivalents se veulent généraux et utilisables en pratique. Dans un second temps, nous utilisons les estimateurs proposés du modèle dit des "lois à queue de type log-Weibull généralisé" pour pouvoir estimer lesdits équivalents. Après avoir évalué les performances sur données simulées des nouveaux estimateurs ainsi construits, nous estimons les limites d’extrapolation associées à trois jeux de données réelles constitués de mesures journalières de variables environnementales. Dépendant de l’aléa climatique considéré, nous montrons que ces limites sont plus ou moins contraignantes.
Type de document :
Thèse
Mathématiques [math]. Communauté Universite Grenoble Alpes, 2018. Français
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Contributeur : Clément Albert <>
Soumis le : vendredi 1 février 2019 - 14:24:37
Dernière modification le : samedi 2 février 2019 - 20:15:20

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Clément Albert. Estimation des limites d'extrapolation par les lois de valeurs extrêmes. Application à des données environnementales.. Mathématiques [math]. Communauté Universite Grenoble Alpes, 2018. Français. 〈tel-01971408v2〉

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