Asymptotic behavior of structured populations models

Comportement asymptotique de modèles de populations structurées

Quentin Richard (1)

1 LMB - Laboratoire de Mathématiques de Besançon (UMR 6623)

Dans cette thèse nous regardons plusieurs modèles de populations structurées s’écrivant à l’aide d’équations de transport. Le caractère bien-posé ainsi que la positivité des solutions sont montrés de manière systématique au sens des semigroupes dans un cadre L1. Un premier travail est consacré à un système de type proie-prédateur structuré en âge. Une étude de stabilité des équilibres nous permet de fomuler explicitement un seuil d’extinction ainsi qu’un seuil pouvant amener à l’explosion des populations. On obtient numériquement la possibilité d’un cycle limite ainsi que la convergence vers un équilibre de coexistence des populations. Dans un cas particulier, ce modèle se réécrit comme un système différentiel à retard. À l’aide d'une fonctionnelle de Lyapunov, on montre la stabilité globale de cet équilibre sous certaines conditions. On étudie également deux modèles structurés en taille, issus de la dynamique cellulaire. L’un est composé de deux équations de transport où la cellule peut être soit proliférante soit quiescente ; et le deuxième est une équation de type transport/diffusion avec des conditions aux bords de Feller. On vérifie à chaque fois l’irréductibilité du semigroupe puis des arguments de faible compacité L1 nous donnent l’existence d’un ‘gap spectral’ sous certaines conditions. On démontre ainsi dans certains cas la croissance exponentielle asynchrone du semigroupe.

In this thesis we look at some structured populations models described with transport equations. The well-posedness and the positivity of the solutions are systematically shown in the semigroups setting in a L1 framework. A first work is dedicated to a age-structured predator/prey system. A stability study of the equilibria allow us to give explicit formulations of an extinction threshold and an threshold which can lead to explosion of solutions. We numerically obtain the possibility to get a limit cycle and the convergence to a coexistence equilibrium of the populations. In a specific case, this model rewrites as a delay differential system. Using Lyapunov functional, we show the global stability of this equilibrium under some assumptions. We also study two size-structured models that come from cellular dynamics. The first one consists on two transport equations, where the cell can either proliferate or be quiescent, and the second one is a transport/diffusion equation with Feller boundary conditions. We check each time the irreducibility of the semigroupe then some weak compactness arguments in L1 imply the existence of a ‘spectral gap’ under some assumptions. We thus prove in some cases the asynchronous exponential growth of the semigroup.

Mots clés: Transport; transport-diffusion and delay equations; age and size structured models; asynchronicity; stability; cellular dynamics; predator-prey interactions; Feller boundary conditions; weak compactness in L1; spectral gap.

Mots clés: équations de transport; de transport-diffusion et à retard; modèles structurés en âge et en taille; asynchronicité; stabilité; dynamiques cellulaires; interactions proie-prédateur; conditions aux bords de Feller; compacité faible L1; gap spectral.

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Quentin Richard. Comportement asymptotique de modèles de populations structurées. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université de Bourgogne Franche-Comté; Laboratoire de Mathématiques de Besançon, 2018. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01891708v1⟩