Méthodes fonctorielles pour l'étude de l'homologie stable des groupes

Aurélien Djament (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

Les catégories de foncteurs, et plus particulièrement les {\em foncteurs polynomiaux}, depuis une petite catégorie vers une catégorie de modules forment le fil conducteur de ce mémoire. On examine quelques questions intrinsèques sur ces catégories abéliennes, comme leurs propriétés de finitude ou celles de leurs groupes d'extensions, mais surtout leur utilisation dans l'étude de l'homologie stable à coefficients tordus (supposant connue l'homologie stable à coefficients constants) de familles remarquables de groupes, tels que les groupes linéaires, unitaires ou les groupes d'automorphismes des groupes libres. La stratégie générale consiste à identifier cette homologie stable d'abord à l'homologie d'une catégorie non directement accessible au calcul, puis, sous une hypothèse de polynomialité sur les coefficients, à celle d'une catégorie plus usuelle qui se prête à des calculs explicites. La première étape s'insère dans un cadre formel introduit avec C. Vespa pour les groupes d'automorphismes d'objets d'une catégorie monoïdale symétrique vérifiant des hypothèses appropriées. La deuxième étape utilise des arguments d'annulation en homologie des foncteurs à coefficients polynomiaux dus à, ou inspirés par, A. Scorichenko. Le dernier chapitre de ce travail examine d'autres familles de groupes n'entrant pas dans le cadre formel qu'on vient d'évoquer, comme les sous-groupes de congruences des groupes linéaires ou unitaires, ou les groupes d'automorphismes des groupes libres induisant l'identité sur leur abélianisation. On propose une généralisation <<~relative~>> dudit cadre formel pour aborder ces questions d'homologie stable (y compris à coefficients constants), reliées, dans le cas linéaire, au problème du défaut d'excision en $K$-théorie algébrique. En général, l'homologie de ces groupes se comporte de façon beaucoup plus délicate que celle des familles de groupes mentionnées au début ; il convient de l'étudier stablement {\em comme foncteur}. On donne plusieurs conjectures, notamment en matière de polynomialité des foncteurs ainsi obtenus. La notion de polynomialité ici en jeu, plus générale que celle issue des travaux classiques d'Eilenberg et Mac Lane (entre catégories de modules), a été introduite récemment avec Vespa et fait l'objet de rappels dans la première partie du mémoire.

Mots clés: Funktorkategorien; polynomielle Funktoren; Funktorhomologie; abgeleitete Kanerweiterungen; algebraische K-Theorie; abelsche Kategorien

Mots clés: Catégories de foncteurs; foncteurs polynomiaux; homologie des foncteurs; homologie des groupes; extensions de Kan dérivées; K-théorie algébrique; catégories abéliennes

Domaines: Topologie algébrique [math.AT]; Théorie des groupes [math.GR]; Catégories et ensembles [math.CT]; K-théorie et homologie [math.KT]

Aurélien Djament. Méthodes fonctorielles pour l'étude de l'homologie stable des groupes. Topologie algébrique [math.AT]. Université de Nantes, Faculté des sciences et des techniques., 2017. ⟨tel-01449940⟩