Quelques études de l'aléatoire en informatique
Résumé
L'objectif de cette présentation est de montrer le rôle central de l'aléatoire dans des domaines de recherche en combinatoire, algorithmique et complexité. Nous verrons également qu'il intervient dans des domaines d'application comme la cryptographie, le tatouage et la biométrie. Selon les études proposées, ce sont des aspects différents de l'aléatoire qui entrent en jeu comme la modélisation aléatoire et le calcul de probabilités asymptotiques, la génération aléatoire ou encore l'extraction de l'aléatoire des données.
Une première partie sera consacrée à l'étude des noyaux dans les graphes aléatoires. Un noyau est un ensemble de sommets qui vérifie deux propriétés très connues en théorie des graphes : la stabilité et la dominance, ces deux propriétés s'opposent et limitent les tailles possibles des noyaux. Nous verrons comment modifier ces tailles soit en proposant des variantes de la propriété de noyau (résultats de contrexemples de lois 0-1 en théorie des modèles finis et en logiques modales, obtention de transitions de phase), soit en changeant la
distribution de probabilités (graphes sans circuit, graphes creux, graphes denses). Nous verrons quel impact que cela entraîne sur la complexité des algorithmes de recherche de noyau.
La seconde partie porte sur les classes de fonctions booléennes définies selon des propriétés utiles pour la cryptographie symétrique.
L'objectif est l'énumération et la génération aléatoire uniforme de ces classes de fonctions. Nous verrons qu'il est possible d'énumérer et générer efficacement les fonctions 1-résilientes jusqu'à 8 variables. L'originalité de notre méthode -- à la fois combinatoire et algorithmique -- que nous avons appelée méthode des classes, a été de classifier l'ensemble des fonctions booléennes en fonction de leur écart avec les fonctions 1-résilientes.
Nous nous intéressons dans la troisième partie à l'étude de l'aléatoire des données, ce travail s'inscrit dans des co-encadrements de thèse. Il s'agit d'éviter une modélisation aléatoire difficile et peu fidèle et de déterminer les parties aléatoires de ses données. La thèse de Cyril Bazin (soutenue en 2010) propose une méthode de tatouage de données géographiques vectorielles qui est rapide, aveugle et robuste à la rotation et à la translation. La méthode consiste à introduire un biais statistique sur des petites parties du document appelés sites. Les thèses de Zhigang Yao (soutenue en 2015) et Benoît Vibert (en cours) portent sur des données biométriques --les empreintes digitales-- plus précisément sur les minuties extraites de ces empreintes. Nous verrons comment mesurer la qualité d'une empreinte et comment sélectionner les minuties les plus pertinentes.
Nous proposerons finalement un projet de recherche sur la quantification et la classification de l'aléatoire des données provenant de transactions numériques.
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