Large-time Behavior of the Solutions to Dissipative Schrödinger Equation
Comportement en grand temps des solutions de l’équation de Schrödinger dissipative
Résumé
This thesis is devoted to studying the large time behavior of the solutions to the Cauchy problem of the dissipative Schrödinger equations. Let H = −∆ + V (x) be the Schrödinger operator. We consider that H is dissipative, i.e. ℑV ≤ 0. More precisely, in this thesis, we assume that the imaginary part of V (x) is sufficiently small such that it can be
seen as a perturbation of the real part of H. Thus the main method in this thesis is the argument of perturbation.
First, we will study the asymptotic completeness of the scattering pair (−∆, H), under the assumption that 0 is a regular point of the real part of H, denoted by H1. It means that 0 is neither an eigenvalue nor a resonance of H1. The proof is based on a global resolvent estimate which is uniform to the size of the imaginary part of the potential function and on the asymptotic completeness of the quantum scattering pair of the selfadjoint operators (−∆, H1). Second, we will discuss the expansion in time of e−itH. Here we will consider two cases: (1). 0 is only an eigenvalue but not a resonance of H1 in dimension three; (2). 0 is only a resonance but not an eigenvalue of H1 in dimension four. Main tool is the low-energy analysis.
Cette thèse est consacrée à l’étude de l’équation de Schrödinger dissipative dépendant du temps, surtout à l’évolution à long terme des solutions du problème de Cauchy. Soit H = −∆ + V (x) l’opérateur de Schrödinger dissipatif, i.e. ℑV (x) ≤ 0 . De plus, on suppose que la partie imaginaire de V (x) est assez petite de sorte qu’elle peuve être considérée comme une perturbation de la partie autoadjointe de l’opérateur. D’abord, nous étudions la complétude asymptotique
de l’opérateur de la diffusion pour la paire (−∆, H), sous condition que 0 soit un point régulier de la partie autoadjointe de H, désignée par H1. Cela signifie que 0 n’est ni une valeur propre, ni une résonance de H1. La preuve est basee sur une estimation globale de la résolvante qui est uniforme par rapport a la taille de la partie imaginaire du potentiel et sur la completude asymptotique de la diffusion quantique pour la paire d’opérateurs autoadjoints (−∆, H1). Ensuite, pour mieux comprendre les comportements en grands temps de la dynamique quantique, nous étudions le développement asymptotique du semigroup e−itH lorsque t tend vers l’infini. Nous considérons les deux cas suivants : (1). 0 est seulement une valeur propre, mais pas une résonance de H1 en dimension trois ; (2). 0 est seulement une
résonance, mais pas une valeur propre de H1 en dimension quatre. L’outil principal est l’analyse spectrale en basses énergies.
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