Contribution to the modelling and the parametric estimation of determinantal point processes

Contribution à la modélisation et à l’estimation paramétrique des processus ponctuels déterminantaux

Christophe Ange Napoléon Biscio (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

This manuscript is devoted to the study of determinantal point processes (DPPs) and their parametric estimation. These processes are known to be well adapted to inhibitive point patterns, where the points tend to repel each others. In the first chapter, we study the flexibility of this model by suggesting two definitions of the repulsiveness, both based on the second order moments of the process, namely the pair correlation function (pcf) g. This leads us to identify the most repulsive DPP. Then, we introduce new parametric families of DPPs that cover a large range of DPPs, from the stationary Poisson process to the most repulsive DPP. In the second chapter, we prove that stationary DPPs are Brillinger mixing. This property allows us to deduce asymptotic results on several statistics. Namely, we prove a central limit theorem for a wide class of functionals of order p of the process and we adapt to DPPs some results already known on kernel estimators of the function g of Brillinger mixing point processes. Finally, in the last chapter we study the minimum contrast estimation based on the Ripley’s K-function and the pcf g. We prove the consistency and the asymptotic normality of these methods for stationary DPPs. In particular, we obtain an explicit form of the asymptotic variance. These results are in fact particular cases of a more general theorem dealing with the asymptotic properties of minimum contrast estimation for stationary point processes that we state and prove in this chapter.

Ce manuscrit est dédié à l’étude des processus ponctuels déterminantaux (DPPs) ainsi qu’à leur estimation paramétrique. Ces processus sont connus pour modéliser des phénomènes répulsifs (le cas où les points ont tendance à se repousser entre eux). Dans la première partie, nous étudions la richesse de ce modèle en proposant deux définitions de la répulsion, basées sur les moments d’ordre deux du processus, plus précisément la fonction de corrélation par paires (pcf) g. Cela nous conduit à la détermination du DPP le plus répulsif. Nous présentons ensuite de nouvelles familles paramétriques de DPPs couvrant toute la plage de répulsion offerte par cette classe. Dans la seconde partie, nous démontrons que les DPPs stationnaires sont Brillinger-mélangeants. Cette propriété basée sur les moments du processus permet d’obtenir des résultats asymptotiques sur différentes statistiques. En particulier, nous démontrons un théorème limite central sur une large classe de fonctionnelles d’ordre p et nous adaptons au cadre des DPPs certains résultats déjà connus sur les estimateurs à noyaux de la pcf g d’un processus Brillinger-mélangeant. Finalement, dans la dernière partie, nous étudions l’estimation d’un DPP paramétrique par minimum de contraste, basée sur les fonctions de Ripley K et la pcf g. Nous prouvons la consistance et la normalité asymptotique de ces méthodes et en particulier, nous obtenons une forme explicite de la variance asymptotique. Ces résultats sont en fait des cas particuliers d’un théorème plus général sur les propriétés asymptotiques des estimateurs par minimum de contraste d’un processus ponctuel stationnaire que nous énonçons et prouvons dans ce chapitre.

Mots clés: determinantal point process; pair correlation function; Brillinger mixing; covariance function; minimum contrast estimation

Mots clés: processus ponctuel déterminantal; fonction de corrélation par paires; mélange de Brillinger; fonction de covariance; estimation par minimum de contraste

Domaines: Statistiques [math.ST]

Christophe Ange Napoléon Biscio. Contribution to the modelling and the parametric estimation of determinantal point processes. Statistics [math.ST]. Université de Nantes, 2015. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01387254⟩