High-order asymptotic-preserving numerical scheme for radiation hydrodynamics
Schémas numériques d'ordre élevé et préservant l'asymptotique pour l'hydrodynamique radiative
Résumé
The aim of this work is to design a high-order and explicit finite volume scheme for specific
systems of conservation laws with source terms. Those systems may degenerate into diffusion
equations under some compatibility conditions. The degeneracy is observed with large source term
and/or with late-time. For instance, this behaviour can be seen with the isentropic Euler model
with friction or with the M1 model for radiative transfer, or with the radiation hydrodynamics
model. We propose a general theory to design a first-order asymptotic preserving scheme (in the
sense of Jin) to follow this degeneracy. The scheme is proved to be stable and consistent under a
classical hyperbolic CFL condition in both hyperbolic and diffusive regimes, for any 2D
unstructured mesh. Moreover, we justify that the developed scheme also preserves the set of
admissible states in all regimes, which is mandatory to conserve physical solutions. This
construction is achieved by using the non-linear scheme of Droniou and Le Potier as a target scheme
for the diffusive equation, which gives the form of the global scheme for the complete system of
conservation laws. Then, the high-order scheme is constructed with polynomial reconstructions and
the MOOD paradigm as a limiter. The main difficulties are the preservation of the set of admissible
states in both regimes on unstructured meshes and to deal with the high-order polynomial
reconstruction in the diffusive limit without losing the asymptotic preserving property. Numerical
results are provided to validate the scheme in all regimes, with the first and high-order versions.
Le but de ce travail est de construire un schéma volumes finis explicite d'ordre élevé pour des
systèmes de lois de conservation avec terme source qui peuvent dégénérer vers des équations de
diffusion sous des conditions de compatibilités. Cette dégénérescence est observée en temps long
et/ou lorsque le terme source devient prépondérant. Par exemple, ce comportement peut être observé
sur le modèle d'Euler isentropique avec friction, ou sur le modèle M1 pour le transfert radiatif
ou encore avec l'hydrodynamique radiative. On propose une théorie générale afin de développer un
schéma d'ordre un préservant l'asymptotique (au sens de Jin) pour suivre la dégénérescence. On
montre qu'il est stable et consistant sous une condition CFL hyperbolique classique dans le régime
de transport comme proche de la diffusion pour tout maillage 2D non structuré. De plus, on justifie
qu'il préserve aussi l'ensemble des états admissibles, ce qui est nécessaire pour conserver des
solutions physiquement et mathématiquement valides. Cette construction se fait en utilisant le
schéma non-linéaire de Droniou et Le Potier pour discrétiser l'équation de diffusion limite.
Ensuite, l'extension à l'ordre élevé s'effectue avec des reconstructions polynomiales et la méthode
MOOD comme principe de limitation. Les difficultés principales sont la préservation de l'ensemble
des états admissibles dans tous les régimes sur maillage 2D non structuré et la préservation de
l'asymptotique à tout ordre lors de l'utilisation de reconstructions polynomiales. Des résultats
numériques sont présentés pour valider le schéma d'ordre un et d'ordre élevé dans tous les régimes.
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