Semi-Fredholmness of the Gauss-Bonnet operator and spectrum properties in infinite graphs
Opérateur de Gauss-Bonnet semi-Fredholm et propriétés spectrales sur les graphes infinis
Résumé
In the context of an infinite locally finite weighted graph, we are interested in the study of discrete Gauss-Bonnet operator which is a Dirac type operator ( its square is the Laplacian operator ). In particular, we are focused on the conditions to have semi-Fredholmness operator needed to approach the Hodge decomposition theorem, which is important for solving problems such that Kirchhoff's problem. In fact, we present a discrete version of the work of Gilles Carron which defines a new concept non-parabolicity at infinity to have the Gauss-Bonnet operator with closed range. Another part of this thesis consist to study the spectral properties of the Laplacian operator. We define two Laplacians one as an operator acting on functions on vertices and the other one acting on functions on edges. So, it is a natural question to characterize the relation between their spectrum in terms of a certain geometric property of the graph and properties of the operators. In fact, we show that the nonzero spectrum of the two laplacians are the same, by using Weyl criterion. In addition, we give an extension of the work of John Lott such that with suitable weight conditions, we prove that the spectral value 0 in the spectrum of one of these two Laplacians.
Dans le contexte des graphes infinis, localement finis et pondérés, nous nous intéressons à l'étude des propriétés de l'opérateur discret de Gauss-Bonnet qui est un opérateur de type Dirac (son carré est l'opérateur Laplacien). Plus précisément, nous donnons une version discrète de la notion importante de non-parabolicité à l'infini introduite par Gilles Carron pour les variétés Riemanniennes non-compactes. De plus, grâce à cette condition notre opérateur est Semi-Fredholm ce qui est utile dans la décomposition de Hodge pour résoudre des problèmes tel que le problème de Kirchhoff. Une autre partie de cette thèse consiste à étudier les propriétés spectrales de l'opérateur Laplacien. En fait, nous distinguons deux types d'opérateurs Laplaciens le premier défini sur l'espace des fonctions sur les sommets et le deuxième défini sur l'espace des fonctions sur les arêtes. C'est une question naturelle de voir le lien entre leur spectres respectifs. En utilisant, le critère de Weyl, nous montrons que le spectre de ces deux Laplaciens coïncident en dehors de la valeur 0. De plus, nous étendons le résultat de John Lott qui affirme que la valeur spectrale 0 est dans le spectre de l'un de ces deux Laplaciens.
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