Berezin–Toeplitz quantization and noncommutative geometry
Quantification de Berezin--Toeplitz et géométrie non commutative
Résumé
The results of this thesis show links between the Berezin–Toeplitz quantization and noncommutative geometry.
We first give an overview of the three different domains we handle: the theory of Toeplitz operators (classical and generalized), the geometric and deformation quantizations and the principal tools we use in noncommutative geometry.
The first step of the study consists in giving examples of spectral triples (A, H, D) involving algebras of Toeplitz operators acting on the Hardy and weighted Bergman spaces over a smoothly bounded strictly pseudoconvex domain Ω of Cn, and also on the Fock space over Cn. It is shown that resulting noncommutative spaces are regular and of the same dimension as the complex domain. We also give and compare different classes of operator D, first by transporting the usual Dirac operator on L2(Rn) via unitaries, and then by considering the Poisson extension operator or the complex normal derivative on the boundary.
Secondly, we show how the Berezin–Toeplitz star product over Ω naturally induces a spectral triple of dimension n+1 whose construction involves sequences of Toeplitz operators over weighted Bergman spaces. This result led us to study more generally to what extent a family of spectral triples can be integrated to form another spectral triple. We also provide an example of such a triple.
Cette thèse montre en quoi la quantification de Berezin–Toeplitz peut être incorporée dans le cadre de la géométrie non commutative.
Tout d’abord, nous présentons les principales notions abordées : les opérateurs de Toeplitz (classiques et généralisés), les quantifications géométrique et par déformation, ainsi que quelques outils de la géométrie non commutative.
La première étape de ces travaux a été de construire des triplets spectraux (A, H, D) utilisant des algèbres d’opérateurs de Toeplitz sur les espaces de Hardy et Bergman pondérés relatifs à des ouverts Ω de Cn à bord régulier et strictement pseudoconvexes, ainsi que sur l’espace de Fock sur Cn. Nous montrons que les espaces non commutatifs induits sont réguliers et possèdent la même dimension que le domaine complexe sous-jacent. Différents opérateurs D sont aussi présentés. Le premier est l’opérateur de Dirac usuel sur L2(Rn) ramené sur le domaine par transport unitaire, d’autres sont formés à partir de l’opérateur d’extension harmonique de Poisson ou de la dérivée normale complexe sur le bord ∂Ω.
Dans un deuxième temps, nous présentons un triplet spectral naturel de dimension n+1 construit à partir du produit star de la quantification de Berezin–Toeplitz. Les éléments de l’algèbre correspondent à des suites d’opérateurs de Toeplitz dont chacun des termes agit sur un espace de Bergman pondéré. Plus généralement, nous posons des conditions pour lesquelles une somme infinie de triplets spectraux forme de nouveau un triplet spectral, et nous en donnons un exemple.
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