Linear groups definable in p-adic fields
Groupes linéaires définissables dans les corps p-adiques
Résumé
This thesis is dedicated to the study of linear definable groups in $p$-adic fields. Anisotropic tori play an important role in this work. We give a model-theoretic and algebraic description of anisotropic $\Qp$-tori of dimension 1.
The study of Cartan subgroups in $SL_2(\QQp)$ (where $\QQp$ is a field elementarily equivalent to $\Qp$) permit us to give a complete description of all definable subgroups of $SL_2(\QQp)$.
We are seeing also linear groups definable in $p$-minimal expansions of $p$-adically closed fields. We introduce a notion of $p$-connexity for groups. We etablish that every linear commutative $p$-connected group definable in such structure is isomorphic to a semi-algebraic group.
Finally some results on genericity and generosity in $SL_2(\Qp)$ are given.
Cette thèse est consacrée à l'étude des groupes linéaires définissables dans les corps $p$-adiques. Les tores anisotropes jouent un rôle central tout au long de ce travail. Nous donnons une description modèle-théorique et algébrique des $\Qp$-tores anisotropes de dimension 1.
L'étude des sous-groupes de Cartan de $SL_2(\QQp)$ (où $\QQp$ est un corps élémentairement équivalent à $\Qp$) nous permet de donner une description complète de tous les sous-groupes définissables de $SL_2(\QQp)$.
Nous nous intéressons également aux groupes linéaires définissables dans des enrichissements $p$-minimaux d'un corps $p$-adiquement clos. Nous introduisons une notion de $p$-connexité pour les groupes. Et nous établissons que tout groupe linéaire commutatif $p$-connexe définissable dans une telle structure est isomorphe à un groupe semi-algébrique.
Enfin des résultats sur la généricité et la générosité dans $SL_2(\Qp)$ sont donnés.