Computing modular Galois representations
Calcul de représentations galoisiennes modulaires
Résumé
It was conjectured in the late 60’s by ∑ J.-P. Serre and proved in the early 70’s by P. Deligne that to each newform f = q + ∑ a_n q^n ∈ S_k (N, ε), k ⩾ 2, and each prime l of the number field K_f = Q(a n , n ⩾ 2), is attached an l-adic Galois representation ρ_f,l : Gal(Q/Q) → GL 2 (K_f,l ), which is unramified outside lN and such the characteristic polynomial of the Frobenius element at p ∤ lN is X² − a_p X + ε(p) p^(k−1) .
Reducing modulo l and semi-simplifying, one gets a mod l Galois representation ρ_f,l : Gal(Q/Q) → GL 2 (F_l ), which is unramified outside lN and such that the characteristic polynomial of the Frobenius element at p ∤ lN is X² − a_p X + ε(p) p^(k−1) mod l. In particular, its trace is a_p mod l, which
gives a quick way to compute a_p mod l for huge p.
The goal of this thesis is to study and implement an algorithm based on this idea (originally due to J.-M. Couveignes and B. Edixhoven) which computes the coefficients a_p modulo l by computing the mod l Galois representation first, relying on the fact that if k < l, this representation shows up in the l-torsion of the jacobian of the modular curve X_1(lN).
Thanks to several improvements, such as the use of K. Khuri-Makdisi’s methods to compute in the modular Jacobian J_1(lN) or the construction of an arithmetically well-behaved function α ∈ Q J 1 (lN ) , this algorithm performs very well, as illustrated by tables of coefficients. This thesis ends by the presentation of a method to formally prove that the output of the algorithm is correct.
J.-P. Serre a conjecturé à la fin des années 60 et P. Deligne a prouvé au début des
années 70 que pour toute newform f = q +∑ a_n q^n ∈ S_k(N, ε), k ⩾ 2, et tout premier l du corps de nombres K_f = Q(a n , n ⩾ 2), il existe une représentation galoisienne l-adique ρ_f,l : Gal(Q/Q) → GL 2 (K_f,l ) qui est non-ramifiée en dehors de lN et telle que le polynôme caractéristique du Frobenius en p ∤ lN est X² − a_p X + ε(p)p^(k−1) .
Après réduction modulo l et semi-simplification, on obtient une représentation galoisienne ρ_f,l : Gal(Q/Q) → GL 2 (F_l ) modulo l, non-ramifiée en dehors de lN et telle que le polynôme caractéristique du Frobenius en p ∤ lN est X² − a_p X + ε(p) p^(k−1) mod l, d’où un moyen de calcul rapide de a p mod l pour p gigantesque.
L’objet de cette thèse est l’étude et l’implémentation d’un algorithme reposant sur cette idée (initialement due à J.-M. Couveignes and B. Edixhoven), qui calcule les coefficients a_p modulo l en calculant d’abord cette représentation modulo l, en s’appuyant sur le fait que pour k < l, cette représentation est réalisée dans la l-torsion de la jacobienne de la courbe modulaire X_1(lN).
Grâce à plusieurs améliorations, telles que l’utilisation des méthodes de K. Khuri-Makdisi pour calculer dans la jacobienne modulaire J_1(lN ) ou la construction d’une fonction sur J_1(lN ) au bon comportement arithmétique, cet algorithme est très efficace, ainsi qu’illustré par des tables de coefficients. Cette thèse se conclut par la présentation d’une méthode permettant de prouver formellement que les résultats de ces calculs sont
corrects.