Knot invariants in embedded contact homology
Invariants de nœuds en homologie de contact plongée
Résumé
Given a contact 3-manifold (Y,α), let \widehat{HF}(Y ) and \widehat{ECH}(Y,α) be the associated Heegaard Floer and, respectively, embedded contact homologies. In a series of papers Colin, Ghiggini and Honda proved that there exists a chain map Φ that induces an isomorphism Φ_∗ : \widehat{HF}(Y) → \widehat{ECH}(Y,α) in homology. Given a knot K in Y, in [13] a hat embedded contact knot homology \widehat{ECK}(K,Y,α) is defined and an isomorphism with the hat Heegaard Floer knot homology \widehat{HFK}(K,Y ) is conjectured. These two homologies can be defined as first pages of spectral sequences arising from filtrations induced by K on chain complexes for \widehat{ECH}(Y,α) and \widehat{HF}(Y ).The aim of this thesis is to provide some evidences about the veracity of this conjecture. We define a full ECK homology and we generalize the definitions of \widehat{ECK} and ECK to any link. We compute then the Euler characteristics of these homologies for knots and links in homology three-spheres (endowed with a suitable contact form) and we prove that in S^3 the ECK homology is a categorification of the multivariable Alexander polynomial. This fact, together with a well known analogous result in HFK, implies that the conjecture is true at the level of Euler characteristics in S^3 . Finally we show that, up to chain homotopies, the chain map Φ preserves the knot filtrations. This can be considered as a first step of a proof of the conjecture for fibered knots.
Soit (Y,\alpha) une 3-variété de contact et \widehat{HF}(Y), \widehat{ECH}(Y,\alpha) respectivement les homologies de Heegaard Floer et de contact plongée associées. Dans une serie d'articles, Colin, Ghiggini et Honda prouvent qu'il existe un morphisme de chaînes Φ qui induit un isomorphisme Φ_*: \widehat{HF}(Y) → \widehat{ECH}(Y,\alpha) en homologie. Étant donné un nœud K dans Y, une version chapeau \widehat{ECK}(K,Y,\alpha) de l'homologie de contact plongée pour les nœuds est définie dans [13] et un isomorphisme avec l'homologie de Heegaard Floer \widehat{HFK}(K,Y) est conjecturé. Ces deux homologies peuvent être définies comme la première page de suites spectrales déterminées par des filtrations induites par K sur des complexes de chaînes pour \widehat{ECH}(Y,\alpha) et \widehat{HF}(Y).Le but de cette thèse est de fournir des indices sur la véracité de cette conjecture. On définie une version complète ECK de l'homologie \widehat{ECK}et on généralise les définitions de ECK et \widehat{ECK} aux entrelacs. On calcule ensuite les caractéristiques d'Euler de ces homologies pour les nœuds et entrelacs dans les trois-sphères d'homologie (munies d'une forme de contact convenable) et on prouve que, dans S^3, l'homologie ECK est une catégorification du polynôme d'Alexander à multivariables. Ce fait, associé à un résultat bien connu analogue en HFK, implique que la conjecture est vraie au niveau de caractéristiques d'Euler en S^3. Finalement, nous montrons que, à homotopies de chaînes près, le morphisme Φ préserve les filtrations du nœud. Ceci peut être considéré comme la première étape d'une preuve de la conjecture pour les nœuds fibrés.