Optimisation de forme et application à l'observation et au contrôle d'équations aux dérivées partielles
Résumé
Les travaux pr\'esent\'es dans ce m\'emoire portent sur l'analyse math\'ematique de probl\`emes \`a la charni\`ere de l'optimisation de forme et du contr\^ole des \'equations aux d\'eriv\'ees partielles.
La premi\`ere partie du manuscrit est consacr\'ee \`a l'\'etude de deux probl\`emes d'optimisation de forme en m\'ecanique des fluides. Le premier trouve sa motivation dans la mod\'elisation de l'arbre bronchique. On cherche \`a minimiser l'\'energie dissip\'ee par un fluide newtonien incompressible r\'egi par les \'equations de Navier-Stokes par rapport \`a la forme du conduit qu'il traverse. Nous prouvons la non-optimalit\'e du cylindre et \'etudions la question de l'existence de minimiseurs. Le second probl\`eme \'etudi\'e vise \`a d\'eterminer la forme optimale d'une ailette, un dispositif industriel utilis\'e pour amplifier les \'echanges de chaleur entre un \'el\'ement plan et un fluide ext\'erieur. En utilisant un mod\`ele simplifi\'e de conduction, nous prouvons un r\'esultat de non-existence et exhibons des suites maximisantes. Ces deux probl\`emes sont illustr\'es \`a l'aide de simulations num\'eriques.
Dans la seconde partie du manuscrit, on cherche \`a positionner des capteurs et actionneurs de fa\c con optimale. Il s'agit de probl\`emes d'optimisation de forme pour l'\'equation des ondes, de Schr\"odinger, ou de la chaleur sur un domaine $\Omega$ en dimension quelconque, avec des conditions fronti\`eres s'il y a un bord de type Dirichlet, Neumann, mixtes, ou Robin. \'Etant donn\'e un \'etat initial, on peut observer la solution de l'\'equation sur un sous-ensemble $\omega$ de $\Omega$, ou bien la contr\^oler vers l'\'equilibre (par exemple \`a l'aide de la m\'ethode HUM), ou encore la stabiliser (par damping lin\'eaire) avec un contr\^ole de support $\omega$. Dans les trois cas, on se pose la question de d\'eterminer quel est le ``meilleur'' domaine possible $\omega$ parmi tous les sous-ensembles de $\Omega$ de mesure donn\'ee (disons $L|\Omega|$ avec $0 < L < 1$). Ces questions sont d'abord \'etudi\'ees \`a donn\'ees initiales fix\'ees, puis ind\'ependamment des donn\'ees initiales : par exemple, on se pose le probl\`eme de maximiser la constante d'observabilit\'e parmi les domaines pr\'ec\'edents. Il s'av\`ere que ce probl\`eme est li\'e aux propri\'et\'es d'ergodicit\'e quantique du domaine $\Omega$, et notamment aux propri\'et\'es de type ``QUE'' (Quantum Unique Ergodicity).
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