Study of the Rolling Manifolds Model and of its Controllability

Étude du modèle des variétés roulantes et de sa commandabilité

Petri Kokkonen (1)

1 L2S - Laboratoire des signaux et systèmes

We study the controllability of the control system describing the rolling motion, without slipping nor spinning, of two n-dimensional Riemannian manifolds, one against the other.This model is closely related to the concepts of development and holonomy of the manifolds, and it generalizes to the case of affine manifolds.The main contributions are those given in four articles attached to the the thesis.First of them "Rolling manifolds and Controllability: the 3D case"deal with the case where the two manifolds are 3-dimensional. We give the listof all the possible cases for which the system is not controllable.In the second paper "Rolling manifolds on space forms"one of the manifolds is assumed to have constant curvature.We can then reduce the study of controllability to the study of the holonomy groupof a certain vector bundle connection and we show, for example, thatif the manifold with the constant curvature is an n-sphere and ifthis holonomy group does not act transitively,then the other manifold is in fact isometric to the sphere.The third paper "A Characterization of Isometries between Riemannian Manifolds by using Development along Geodesic Triangles"describes, by using the rolling motion (or development) along the loops,an alternative version of the Cartan-Ambrose-Hicks Theorem,which characterizes, among others, the Riemannian isometries.More precisely, we prove that if one starts from a certain initial orientation,and if one only rolls along loops based at the initial point (associated to this orientation),then the two manifolds are isometric if (and only if) the pathstraced by the rolling motion on the other manifolds, are all loops.Finally, the fourth paper "Rolling Manifolds without Spinning"studies the rolling motion, and its controllability, when slipping is allowed.We characterize the structure of all the possible orbits in terms of the holonomy groupsof the manifolds in question. It is also shown that there does not exist anyprincipal bundle structure such that the related distribution becomes a principal distribution,a fact that is to be compared especially to the results of the second article.Furthermore, in the third chapter of the thesis, we construct carefully the rolling modelin the more general framework of affine manifolds, as well as that of Riemannian manifolds,of possibly different dimensions.

Nous étudions la commandabilité du système de contrôle décrivant le procédé de roulement, sans glissement ni pivotement, de deux variétés riemanniennes n-dimensionnelles, l'une sur l'autre. Ce modèle est étroitement associé aux concepts de développement et d'holonomie des variétés, et il se généralise au cas de deux variétés affines. Les contributions principales sont celles données dans quatre articles, attachés à la fin de la thèse.Le premier d'entre eux «Rolling manifolds and Controllability : the 3D case»traite le cas où les deux variétés sont 3-dimensionelles. Nous donnons alors, la liste des cas possibles pour lesquelles le système n'est pas commandable.Dans le deuxième papier «Rolling manifolds on space forms», l'une des deux variétés est supposée être de courbure constante. On peut alors réduire l'étude de commandabilité à l'étude du groupe d'holonomie d'une certaine connexion vectorielle et on démontre, par exemple, que si la variété à courbure constante est une sphère n-dimensionelle et si ce groupe de l'holonomie n'agit pas transitivement, alors l'autre variété est en fait isométrique à la sphère.Le troisième article «A Characterization of Isometries between Riemannian Manifolds by using Development along Geodesic Triangles» décrit, en utilisant le procédé de roulement (ou développement) le long des lacets, une version alternative du théorème de Cartan-Ambrose-Hicks, qui caractérise, entre autres, les isométries riemanniennes. Plus précisément, on prouve que si on part d'une certaine orientation initiale, et si on ne roule que le long des lacets basés au point initial (associé à cette orientation), alors les deux variétés sont isométriques si (et seulement si) les chemins tracés par le procédé de roulement sur l'autre variété, sont tous des lacets.Finalement, le quatrième article «Rolling Manifolds without Spinning» étudie le procédé de roulement et sa commandabilité dans le cas où l'on ne peut pas pivoter. On caractérise alors les structures de toutes les orbites possibles en termes des groupes d'holonomie des variétés en question. On montre aussi qu'il n'existe aucune structure de fibré principal sur l'espace d'état tel que la distribution associée à ce modèle devienne une distribution principale, ce qui est à comparer notamment aux résultats du deuxième article.Par ailleurs, dans la troisième partie de cette thèse, nous construisons soigneusement le modèle de roulement dans le cadre plus général des variétés affines, ainsi que dans celui des variétés riemanniennes de dimensiondifférente.

Mots clés: Controllability; Curvature; Development; (sub-)riemannian geometry; Holonomy,; Orbit; Rolling manifolds

Mots clés: Commandabilité; Courbure; Développement; Géométrie (sous-)riemannienne; Holonomie; Orbite,; Variétés roulantes

Domaines: Autre [cond-mat.other]

Petri Kokkonen. Étude du modèle des variétés roulantes et de sa commandabilité. Autre [cond-mat.other]. Université Paris Sud - Paris XI; Itä-Suomen yliopisto, 2012. Français. ⟨NNT : 2012PA112317⟩. ⟨tel-00764158⟩