Light in disordered atomic systems: Euclidean matrix theory of random lasing
Lumière dans les milieux atomiques désordonnés: théorie des matrices euclidiennes et lasers aléatoires
Résumé
This thesis is devoted to the study of the properties of light emitted by a collection of atomic scatterers distributed at random positions in Euclidean space. In this respect, an ab initio theory of random lasing is formulated in terms of the statistical properties of the so-called 'Green's matrix'. This matrix belongs to the family of Euclidean random matrices (ERMs), for which we develop an analytic theory giving access to their eigenvalue distribution. First, we derive quantum microscopic equations for the electric field and atomic operators, and show how the non-Hermitian Green's matrix (a matrix with elements equal to the Green's function of the Hemholtz equation between pairs of atoms in the system) emerges in the quantum formalism. We provide expressions for the intensity and the spectrum of light in terms of the Green's matrix, characterize quantum Langevin forces, and reveal how the semiclassical random laser threshold is washed out by quantum fluctuations (chapters 2 and 3). A mesoscopic and semiclassical description of light scattered by pumped atoms is the subject of chapter 4. We provide a microscopic derivation of the transport equation in the presence of gain, reveal a mapping to ERMs, and analyze the lasing threshold inferred from the transport equation. In chapters 5 and 6, we develop an analytic theory for Hermitian and non-Hermitian ERMs in the limit of large matrix size. We obtain self-consistent equations for the resolvent and the eigenvector correlator of an arbitrary ERM and apply our results to three different ERMs relevant to wave propagation in random media: the random Green's matrix, its imaginary part, and its real part. We are able to describe analytically with reasonable precision the full probability distribution of decay rates of light emitted by a large number of atoms, as well as of the collective frequency shift induced by the light-matter interaction. The signatures of Anderson localization in the properties of the Green's matrix are also discussed. Finally, we combine microscopic equations of motion of light-matter interaction with our results for non-Hermitian ERMs to tackle the problem of random lasing. The lasing threshold and the intensity of laser emission are calculated analytically in the semiclassical approximation, and the spectrum of light below threshold is computed by taking into account quantum effects. Our theory applies from low to high density of atoms.
Cette thèse présente une étude des propriétés de la lumière émise par des diffuseurs atomiques distribués aléatoirement dans l'espace euclidien. Dans ce cadre, une théorie ab initio des lasers aléatoires est formulée en terme des propriétés statistiques de la 'matrice de Green'. Cette dernière appartient à la famille des matrices aléatoires euclidiennes (MAE) pour lesquelles nous développons une théorie analytique donnant notamment accès à la distribution de probabilité de leurs valeurs propres. Dans un premier temps, nous établissons les équations quantiques microscopiques régissant la dynamique du champ électrique ainsi que celle des opérateurs atomiques, et explicitons comment la matrice de Green (dont les éléments sont égaux à la fonction de Green de l'équation de Helmholtz évaluée entre les différentes paires d'atomes constituant le milieu) émerge du formalisme quantique. Nous exprimons à la fois l'intensité et le spectre de la lumière en termes de la matrice de Green, caractérisons les forces de Langevin quantiques, et montrons de quelle manière le seuil semi-classique d'un laser aléatoire est affecté par la prise en considération des fluctuations quantiques (chapitres 2 et 3). Une description mésoscopique et semi-classique de la lumière diffusée par des atomes soumis à une pompe externe est présentée dans le quatrième chapitre. Nous dérivons une équation de transport obéie par l'intensité moyenne en présence de gain, établissons un 'mapping' avec les MAE, et analysons la condition de seuil laser déduite de l'équation de transport. Dans les chapitres 5 et 6, nous développons une théorie générale des MAE, hermitiennes et non hermitiennes, valide dans la limite de grande taille matricielle. Nous obtenons des équations couplées pour la résolvante et le corrélateur des vecteur propres d'une MAE arbitraire, puis testons la validité de nos résultats sur trois matrices jouant un rôle important dans l'étude de la propagation des ondes en milieux désordonnés: la matrice de Green, sa partie imaginaire, et sa partie réelle. Nous sommes ainsi capables de décrire analytiquement avec une bonne précision la distribution de probabilité des taux d'émission lumineux dus à un grand nombre d'atomes, ainsi que celle du déplacement lumineux collectif dû à l'interaction lumière-matière. Les signatures de la localisation d'Anderson dans les propriétés de la matrice de Green sont également discutées. Finalement, nous combinons les équations microscopiques de l'interaction lumière-matière avec nos résultats relatifs aux MAE non-hermitiennes afin de caractériser dans le détail le comportement des lasers aléatoires. Le seuil laser ainsi que l'intensité au delà du seuil sont calculés analytiquement dans l'approximation semi-classique, et le spectre de la lumière sous le seuil est évalué en prenant en compte les effets quantiques. Notre théorie s'applique aussi bien à basse densité qu'à haute densité de diffuseurs atomiques.