Nouvelles méthodes de traitement de signaux multidimensionnels par décomposition suivant le théorème de Superposition de Kolmogorov
Résumé
The processing of multidimensional signal remains difficult when using monodimensional-based methods. Therefore, it is either required to extend monodimensional methods to several dimensions, which is not always possible, or to convert the multidimensional signals into 1D signals. In this case, the priority is to preserve most of the properties of the original signal. In this context, the Kolmogorov Superposition Theorem offers a promising theoretical framework for multidimensional signal conversion. In 1957, Kolmogorov demonstrated that any multivariate function can be written as sums and compositions of monovariate functions. We have focused our study on the research of applications in image processing of the image decomposition according to the superposition theorem scheme. We have first studied the monovariate function constructions. Various studies have dealt with this problem, and recently, two algorithms have been proposed. Sprecher has proposed an algorithm in which the method to exactly build the monovariate functions is described, as well as fundamental notions for the understanding of the theorem. Igelnik and Parikh have proposed an algorithm to approximate the monovariate functions by a Spline network. We have applied both algorithms to image decomposition. We have chosen to use Igelnik's algorithm which is easier to modify and provides an analytic representation of the functions, to propose two novel applications for classical problems in image processing: - for compression: we have studied the quality of a reconstructed image using a spline network built with only a fraction of the pixels of the original image. To improve this reconstruction, we have proposed to apply this decomposition on images of details obtained by wavelet transform. We have then combined this method with JPEG 2000, and we show that the JPEG 2000 compression scheme is improved, even at low bitrates. - for progressive transmission: by modifying the spline network construction, the image can be decomposed into one monovariate function. This function can be progressively transmitted, which allows to reconstruct the image by progressively increasing its resolution. Moreover, we show that such a transmission is resilient to information lost.
Le traitement de signaux multidimensionnels reste un problème délicat lorsqu'il s'agit d'utiliser des méthodes conçues pour traiter des signaux monodimensionnels. Il faut alors étendre les méthodes monodimensionnelles à plusieurs dimensions, ce qui n'est pas toujours possible, ou bien convertir les signaux multidimensionnels en signaux 1D. Dans ce cas, l'objectif est de conserver le maximum des propriétés du signal original. Dans ce contexte, le théorème de superposition de Kolmogorov fournit un cadre théorique prometteur pour la conversion de signaux multidimensionnels. En effet, en 1957, Kolmogorov a démontré que toute fonction multivariée pouvait s'écrire comme sommes et compositions de fonctions monovariées. Notre travail s'est focalisé sur la décomposition d'images suivant le schéma proposé par le théorème de superposition, afin d'étudier les applications possibles de cette décomposition au traitement d'image. Pour cela, nous avons tout d'abord étudié la construction des fonctions monovariées. Ce problème a fait l'objet de nombreuses études, et récemment, deux algorithmes ont été proposés. Sprecher a proposé un algorithme dans lequel il décrit explicitement la méthode pour construire exactement les fonctions monovariées, tout en introduisant des notions fondamentales à la compréhension du théorème. Par ailleurs, Igelnik et Parikh ont proposé un algorithme pour approcher les fonctions monovariées par un réseau de splines. Nous avons appliqué ces deux algorithmes à la décomposition d'images. Nous nous sommes ensuite focalisé sur l'étude de l'algorithme d'Igelnik, qui est plus facilement modifiable et offre une représentation analytique des fonctions, pour proposer deux applications originales répondant à des problématiques classiques de traitement de l'image : - pour la compression : nous avons étudié la qualité de l'image reconstruite par un réseau de splines généré avec seulement une partie des pixels de l'image originale. Pour améliorer cette reconstruction, nous avons proposé d'effectuer cette décomposition sur des images de détails issues d'une transformée en ondelettes. Nous avons ensuite combiné cette méthode à JPEG 2000, et nous montrons que nous améliorons ainsi le schéma de compression JPEG 2000, même à bas bitrates. - pour la transmission progressive : en modifiant la génération du réseau de splines, l'image peut être décomposée en une seule fonction monovariée. Cette fonction peut être transmise progressivement, ce qui permet de reconstruire l'image en augmentant progressivement sa résolution. De plus, nous montrons qu'une telle transmission est résistante à la perte d'information.