Problèmes aux valeurs propres non-linéaires
Non linear eigenvalue problems
Résumé
In this work we study the polynomial family of operators : L(z)=H_0+z H_1+...+ zm-1Hm-1+zm , where the coefficients H0,H1,...,Hm-1 are operators defined on the Hilbert space H and z is a complex parameter. We are interested to study the spectrum of the family L(z). The problem L(z)u(x)=0, is called a non-linear eigenvalue problem for m≥2 (The complex number z is called an eigenvalue of L(z), if there exists u in H, u≠0 such that L(z)u=0). We consider here a quadratic family (m=2) and in particular we are interested in the case LP(z)=-∆x+(P(x)-z)2which is defined on the Hilbert space L2(Rn), where P is an elliptic positive polynomial of degree M≥2. For this example results for existence of eigenvalues are known for n=1 and n is even. The main goal of our work is to check the following conjecture, stated by Helffer-Robert-Wang : “ For every dimension n, for every M≥2, the spectrum of LP is non empty.” We prouve this conjecture for the following cases : (1) n=1,3, for every polynomial P of degree M≥2. (2) n=5, for every convex polynomial P satisfying some technical conditions. (3)n=7, for every convex polynomial P. This result extends to the case of quasi-homogeneous polynomial and quasi-elliptic, for example P(x,y)=x2+y4, x in Rn1, y in Rn2, n1+n2=n, where n is even. We prove this results by computing the coefficients of a semi-classical trace formula and by using the theorem of Lidskii.
Ce travail porte sur l'étude de familles polynomiales d'opérateurs de la forme :
L(z)=H_0+z H_1+...+ zm-1Hm-1+zm , où H0,H1,...,Hm-1 sont des opérateurs définis sur l'espace de Hilbert H et z est un paramètre complexe. On s'intéresse au spectre de la famille L(z). Le problème L(z)u(x)=0 est un problème aux valeurs propres non-linéaires lorsque m≥2 (Un nombre complexe z est appelé valeur propre de L(z), s'il existe u dans H, u≠0$ tel que L(z)u=0). Ici nous considérons des familles quadratiques (m=2) et nous nous intéressons en particulier au cas LP(z)=-∆x+(P(x)-z)2, définie dans l'espace de Hilbert L2(Rn), où P est un polynôme positif elliptique de degré M≥2. Dans cet exemple les résultats connus d'existence de valeurs propres concernent les cas $n=1$ et $n$ paire.
L'objectif principal de ce travail est de progresser vers la preuve de la conjecture suivante, formulée par Helffer-Robert-Wang : « Pour toute dimension n, pour tout M≥2, le spectre de LP est non vide. »
Nous prouvons cette conjecture dans les cas suivants : (1) n=1,3, pour tout polynôme P de degré M≥2. (2) n=5, pour tout polynôme P convexe vérifiant de plus des conditions techniques. (3) n=7, pour tout polynôme P convexe.
Ce résultat s'étend à des polynômes quasi-homogènes et quasi-elliptiques comme par exemple P(x,y)=x2+y4, x dans Rn1, y dans Rn2, n1+n2=n, et n paire.
Nous prouvons ces résultats en calculant les coefficients d'une formule de trace semi-classique et en utilisant le théorème de Lidskii.
L(z)=H_0+z H_1+...+ zm-1Hm-1+zm , où H0,H1,...,Hm-1 sont des opérateurs définis sur l'espace de Hilbert H et z est un paramètre complexe. On s'intéresse au spectre de la famille L(z). Le problème L(z)u(x)=0 est un problème aux valeurs propres non-linéaires lorsque m≥2 (Un nombre complexe z est appelé valeur propre de L(z), s'il existe u dans H, u≠0$ tel que L(z)u=0). Ici nous considérons des familles quadratiques (m=2) et nous nous intéressons en particulier au cas LP(z)=-∆x+(P(x)-z)2, définie dans l'espace de Hilbert L2(Rn), où P est un polynôme positif elliptique de degré M≥2. Dans cet exemple les résultats connus d'existence de valeurs propres concernent les cas $n=1$ et $n$ paire.
L'objectif principal de ce travail est de progresser vers la preuve de la conjecture suivante, formulée par Helffer-Robert-Wang : « Pour toute dimension n, pour tout M≥2, le spectre de LP est non vide. »
Nous prouvons cette conjecture dans les cas suivants : (1) n=1,3, pour tout polynôme P de degré M≥2. (2) n=5, pour tout polynôme P convexe vérifiant de plus des conditions techniques. (3) n=7, pour tout polynôme P convexe.
Ce résultat s'étend à des polynômes quasi-homogènes et quasi-elliptiques comme par exemple P(x,y)=x2+y4, x dans Rn1, y dans Rn2, n1+n2=n, et n paire.
Nous prouvons ces résultats en calculant les coefficients d'une formule de trace semi-classique et en utilisant le théorème de Lidskii.
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