A Gabriel Theorem for Coherent Twisted Sheaves and Picard Group and 2-factoriality of O'Grady's Examples of Irreducible Symplectic Varieties

Un théorème de Gabriel pour les faisceaux cohérents tordues et Groupe de Picard et 2-factorialité des exemples de O'Grady de variétés irréductibles symplectiques

Arvid Perego (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

This PhD thesis is divided in two parts: in the first one, we present a generalization of Gabriel's Theorem on coherent sheaves to twisted coherent sheaves. More precisely, we show that any Noetherian scheme X can be reconstructed from its abelian category Coh(X,\alpha) of coherent sheaves twisted by an element \alpha of the cohomological Brauer group of X. In the second part we study the two moduli spaces M_{10} and M_{6} introduced by O'Grady, which he uses to obtain his two new examples of irreducible symplectic varieties in dimension 10 and 6. We calculate the Picard group of M_{10} and M_{6}, and we show that these two varieties are not locally factorial, but 2-factorial. This is done using the results obtained by Rapagnetta on the cohomology and the Beauville-Bogomolov form of M_{10} and M_{6}, and studying the properties of the Le Potier's morphism in these two cases.

Cette thèse se compose de deux parties: dans la première on démontre une généralisation du théorème de Gabriel sur les faisceaux cohérents au cas des faisceaux cohérents tordus. Plus précisément, on démontre que tout schéma noethérien X peut être reconstruit à partir de sa catégorie abélienne Coh(X,\alpha) des faisceaux cohérents tordus par un élément \alpha du groupe de Brauer cohomologique de X. Dans la deuxième partie on étudie les deux espaces des modules M_{10} et M_{6} introduits par O'Grady, qu'il utilise pour obtenir ses deux nouveaux examples de variétés irréductibles symplectiques de dimension 10 et 6 respectivement. On calcule les groupes de Picard de M_{10} et M_{6}, et on démontre que ces deux variétés ne sont pas localement factorielles, mais 2-factorielles. Ceci est accompli en utilisant les résultats de Rapagnetta sur la cohomologie et la forme de Beauville-Bogomolov de M_{10} et M_{6}, et en étudiant les propriétés du morphisme de Le Potier dans ces deux cas.

Mots clés: Twisted coherent sheaves; Abelian categories; Irreducible symplectic manifolds; Moduli spaces of sheaves on algebraic surfaces

Mots clés: faisceaux cohérents tordus; catégories abéliennes; variétés irréductibles symplectiques; espaces des modules de faisceaux sur des surfaces algébriques

Domaines: Mathématiques [math]

Arvid Perego. A Gabriel Theorem for Coherent Twisted Sheaves and Picard Group and 2-factoriality of O'Grady's Examples of Irreducible Symplectic Varieties. Mathematics [math]. Université de Nantes, 2008. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00340585⟩