Contributions of Wavelet Leaders and Bootstrap to Multifractal Analysis: Images, Estimation Performance, Dependence Structure and Vanishing Moments. Confidence Intervals and Hypothesis Tests.
Contributions à l'analyse multifractale des coefficients d'ondelettes dominants et du bootstrap : Images, performances d'estimation, nombre de moments nuls et structure de dépendance. Intervalles de confiance et tests d'hypothèse.
Résumé
Scale invariance constitutes a paradigm that is frequently used for the analysis and modeling of empirical data in various applications of very different natures. Multifractal analysis provides a conceptual framework for its theoretical and practical studies. The aim of this thesis is to investigate the benefits of the use of wavelet Leaders, on one hand, and bootstrap methods, for practical multifractal analysis. In the first part of this work, the statistical properties and performance of wavelet Leader based multifractal analysis procedures are studied. It is shown that they compare very favorably to those obtained by wavelet coefficient based ones. Moreover, a practical extension to two dimensional signals (images) is validated. In addition, a number of theoretical questions of fundamental practical importance in applications are investigated: Function space embedding models and minimum regularity, linearization effect, robustness with respect to quantization of the data. The second part of this thesis proposes bootstrap based procedures for statistical inference in multifractal analysis. These procedures are validated by numerical simulations and permit the construction of confidence intervals and hypothesis tests for multifractal attributes, from one single finite length observation of data. This is achieved by an original time-scale block bootstrap approach in the wavelet domain. This work is further completed by the detailed study of the dependence structures of wavelet coefficients and wavelet Leaders. Notably, it is shown that the number of vanishing moments of the analyzing wavelet, which permits to convert long range to weak dependence for fractional Brownian motion, is ineffective for multifractal multiplicative cascades: Increasing the number of vanishing moments still controls the correlation of wavelet coefficients, but has no effect on their long range dependence structure. Finally, the wavelet Leader and bootstrap based multifractal analysis tools are applied to hydrodynamic turbulence data, and to texture image classification.
L'invariance d'échelle constitue un paradigme souvent avancé pour l'analyse et la modélisation de données expérimentales issues d'applications de natures différentes. L'analyse multifractale fournit un cadre conceptuel pour ses études théorique et pratique. Dans ce contexte, l'objectif de cette thèse réside dans l'apport à l'analyse multifractale, de l'utilisation des coefficients d'ondelettes dominants, d'une part, et des techniques statistiques de type bootstrap, d'autre part. Dans la première partie de ce travail, les propriétés et performances statistiques de procédures d'analyse multifractale construites à partir de coefficients dominants sont étudiées et caractérisées. Il est notamment montré qu'elles se comparent favorablement à celles obtenues à partir de coefficients d'ondelettes. De plus, une extension aux signaux bidimensionnels (images) est proposée et validée. En complément sont étudiées plusieurs difficultés théoriques, d'importance cruciale pour une réelle mise en œuvre pratique de l'analyse multifractale : régularité minimale et espaces fonctionnels, effet de linéarisation, robustesse vis-à-vis d'éventuelles quantifications des données. La deuxième partie de ce travail de thèse s'intéresse à la construction, pour les attributs multifractals, d'intervalles de confiance et de tests d'hypothèse, à partir de techniques 'bootstrap'. L'originalité de notre approche réside dans la mise en œuvre du bootstrap par construction de blocs temps-échelle dans le plan des coefficients d'ondelettes. Cette procédure, validée par simulations numériques, permet d'obtenir des intervalles de confiance et d'effectuer des tests d'hypothèses à partir d'une seule observation des données, de longueur finie. Une étude précise des structures de dépendance des coefficients d'ondelettes et coefficients dominants complète ce travail. Elle montre notamment que l'augmentation du nombre de moments nuls de l'ondelette d'analyse, qui, pour le mouvement brownien fractionnaire, permet de réduire la portée de la structure de dépendance de longue à courte, est inopérante pour les cascades multiplicatives multifractales : si l'augmentation du nombre de moments nuls décorrèle effectivement les coefficients d'ondelette, elle échoue à faire disparaître la dépendance longue. Enfin, les procédures d'analyse multifractale par coefficients dominants et bootstrap sont illustrées sur deux applications : la turbulence hydrodynamique et la classification de texture d'images.
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