Microlocal Representation of Solutions to Hyperbolic Systems, Applications to Imaging, and Contribution to the Control and Inverse Problems for Parabolic Equations
Représentation Microlocale de Solutions de Systèmes Hyperboliques, Application à l'Imagerie, et Contributions au Contrôle et aux Problèmes Inverses pour des Equations Paraboliques
Résumé
In a first part, we consider Cauchy problems for first-order hyperbolic equations and systems. A representation of the solution operator of these equations is given as an infinite product of Fourier integral operators with complex phase. The convergence in Sobolev spaces of this representation is proven as well as the convergence of the wavefront set. In the case of systems, symmetric and symmetrizable systems are considered. The proposed representation naturally yields numerical schemes for the resolution of the Cauchy problems. We present applications of this method to the field of seismic imaging. There, approximations are performed to obtain efficient schemes. Other applications of microlocal analysis to seismology are presented.
In a second part, we study the controllability to the trajectories for linear and semilinear parabolic equations. We focus on the case of operators in divergence form where the coefficient in the principal part is non continuous. We first derive a Carleman estimate, in one space dimension, for a piecewise-$C^1$ coefficient. This result is extended to a $BV$ coefficient by passing to the limit in the Carleman estimate. With these results, we prove that the controllability for parabolic equations is achievable in one space dimension without assuming any compatibility between the control region and the signs of the jumps of the discontinuous coefficient. We further exhibit a case in higher dimension for which the same conclusion holds. Finally, we make use of a Carleman estimate to identify the discontinuous coefficient from measurements of the solution.
In a second part, we study the controllability to the trajectories for linear and semilinear parabolic equations. We focus on the case of operators in divergence form where the coefficient in the principal part is non continuous. We first derive a Carleman estimate, in one space dimension, for a piecewise-$C^1$ coefficient. This result is extended to a $BV$ coefficient by passing to the limit in the Carleman estimate. With these results, we prove that the controllability for parabolic equations is achievable in one space dimension without assuming any compatibility between the control region and the signs of the jumps of the discontinuous coefficient. We further exhibit a case in higher dimension for which the same conclusion holds. Finally, we make use of a Carleman estimate to identify the discontinuous coefficient from measurements of the solution.
Dans une première partie, nous considérons des problèmes de Cauchy pour des équations et systèmes hyperboliques du premier ordre. Nous donnons une représentation de l'opérateur solution comme produit infini d'opérateurs intégraux de Fourier à phase complexe. Nous démontrons la convergence de cette représentation dans les espaces de Sobolev, ainsi que celle du front d'onde. Pour les systèmes, nous traitons les cas symétriques et symétrisables. La représentation proposée conduit naturellement à des schémas numériques pour la résolution des problèmes de Cauchy. Nous présentons des applications de cette méthode dans le domaine de l'imagerie sismique. Dans ce cadre, grâce à des approximations microlocales nous obtenons des schémas efficaces. D'autres applications de l'analyse microlocale à la sismologie sont présentées.
Dans une seconde partie, nous étudions la contrôlabilité aux trajectoires pour des équations paraboliques linéaires et semi-linéaires. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas d'opérateurs sous forme divergentielle où le coefficient de la partie principale est non continu. Nous prouvons tout d'abord une inégalité de Carleman, en dimension un d'espace, pour un coefficient $C^1$ par morceaux. Par un passage à la limite dans l'inégalité de Carleman, ce résultat est étendu au cas d'un coefficient $BV$. Avec ces résultats, nous prouvons la contrôlabilité de ces équations paraboliques en dimension un d'espace sans faire d'hypothèse de compatibilité entre la région de contrôle et les signes des sauts du coefficient discontinu. De plus, nous exhibons un cas en dimension supérieure pour lequel la même conclusion est obtenue. Finalement, nous utilisons une inégalité de Carleman afin d'identifier le coefficient discontinu à partir de mesures faites sur la solution.
Dans une seconde partie, nous étudions la contrôlabilité aux trajectoires pour des équations paraboliques linéaires et semi-linéaires. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas d'opérateurs sous forme divergentielle où le coefficient de la partie principale est non continu. Nous prouvons tout d'abord une inégalité de Carleman, en dimension un d'espace, pour un coefficient $C^1$ par morceaux. Par un passage à la limite dans l'inégalité de Carleman, ce résultat est étendu au cas d'un coefficient $BV$. Avec ces résultats, nous prouvons la contrôlabilité de ces équations paraboliques en dimension un d'espace sans faire d'hypothèse de compatibilité entre la région de contrôle et les signes des sauts du coefficient discontinu. De plus, nous exhibons un cas en dimension supérieure pour lequel la même conclusion est obtenue. Finalement, nous utilisons une inégalité de Carleman afin d'identifier le coefficient discontinu à partir de mesures faites sur la solution.
Domaines
Mathématiques [math]
Loading...