Estimations dispersives
Dispersive estimates
Résumé
There are four important results in my thesis.
For a large class of real-valued potentials, V(x), in dimension higher than 4 , we prove dispersive estimates for the low frequency part of the Schrödinger propagator, provided the zero is neither an eigenvalue nor a resonance. This class includes decreasing potentials satisfying V(x)=O(^{-(n+2)/2-\epsilon}). As a consequence, we extend the results in Journé, Soffer and Sogge to a larger class of potentials.
We prove dispersive estimates at low frequency in dimensions higher than 4 for the wave equation for a very large class of real-valued potentials, provided the zero is neither an eigenvalue nor a resonance. This class includes decreasing potentials satisfying V(x)=O(^{-(n+1)/2-\epsilon}).
We prove dispersive estimates at high frequency in dimension two for both the wave and the Schrödinger groups for a very large class of real-valued potentials.
For a large class of real-valued potentials, V(x), in dimension higher than 4 , we prove dispersive estimates for the low frequency part of the Schrödinger propagator, provided the zero is neither an eigenvalue nor a resonance. This class includes decreasing potentials satisfying V(x)=O(^{-(n+2)/2-\epsilon}). As a consequence, we extend the results in Journé, Soffer and Sogge to a larger class of potentials.
We prove dispersive estimates at low frequency in dimensions higher than 4 for the wave equation for a very large class of real-valued potentials, provided the zero is neither an eigenvalue nor a resonance. This class includes decreasing potentials satisfying V(x)=O(^{-(n+1)/2-\epsilon}).
We prove dispersive estimates at high frequency in dimension two for both the wave and the Schrödinger groups for a very large class of real-valued potentials.
Cette thèse comporte deux parties sur les estimations dispersives pour l'équation de Schrödinger et celle des ondes. Si des résultats assez précis sont connus en dimension 1, 2 et 3, les meilleurs résultats en dimension supérieure ou égale à 4 sont connus depuis plus de dix ans et sont ceux de Beals pour l'équation des ondes et de Journé, Soffer et Sogge pour l'équation de Schrödinger. G.Vodev a traité le cas des hautes fréquences dans deux articles. Cette thèse complète l'étude en traitant le cas des basses fréquences, ce qui permet d'améliorer les résultats existants tout en apportant une nouvelle méthode de traitement.
Ces méthodes basées sur une étude approfondie des propriétés de la résolvante libre permettent aussi l'étude de la dimension 3, ce qui apporte des résultats nouveaux concernant l'équation des ondes. Elles permettent aussi de traiter le cas des hautes fréquences en dimension 2 pour les deux équations.
Dans la première partie, pour l'équation des ondes, je prouve des estimations dispersives à basses fréquences en dimension supérieure ou égale à 3 pour une large classe de potentiels à valeurs réelles, à condition que 0 ne soit ni une valeur propre ni une résonance. Cette classe inclue pour n supérieur ou égal à 4 les potentiels à décroissance à l'infini V(x)=O(^{-(n+1)/2-\epsilon}). En dimension n=2, je prouve des estimations dispersives à hautes fréquences pour une large classe de potentiels à valeurs réelles.
Pour l'équation de Schrödinger, je prouve de manière similaire des estimations dispersives à basses fréquences en dimension supérieure ou égale à 4 pour une large classe de potentiels à valeurs réelles, à condition que 0 ne soit ni une valeur propre ni une résonance. Cette classe inclue les potentiels décroissant à l'infini vérifiant V(x)=O(^{-(n+2)/2-\epsilon}). J'améliore aussi les résultats de Journé, Soffer et Sogge dans le cas où le potentiel vérifie des hypothèses de régularité. En dimension n=2, je prouve, en m'appuyant sur les estimations prouvées lors de l'étude de l'équation des ondes, des estimations dispersives à hautes fréquences toujours pour une classe de potentiels à valeurs réelles.
Ces méthodes basées sur une étude approfondie des propriétés de la résolvante libre permettent aussi l'étude de la dimension 3, ce qui apporte des résultats nouveaux concernant l'équation des ondes. Elles permettent aussi de traiter le cas des hautes fréquences en dimension 2 pour les deux équations.
Dans la première partie, pour l'équation des ondes, je prouve des estimations dispersives à basses fréquences en dimension supérieure ou égale à 3 pour une large classe de potentiels à valeurs réelles, à condition que 0 ne soit ni une valeur propre ni une résonance. Cette classe inclue pour n supérieur ou égal à 4 les potentiels à décroissance à l'infini V(x)=O(^{-(n+1)/2-\epsilon}). En dimension n=2, je prouve des estimations dispersives à hautes fréquences pour une large classe de potentiels à valeurs réelles.
Pour l'équation de Schrödinger, je prouve de manière similaire des estimations dispersives à basses fréquences en dimension supérieure ou égale à 4 pour une large classe de potentiels à valeurs réelles, à condition que 0 ne soit ni une valeur propre ni une résonance. Cette classe inclue les potentiels décroissant à l'infini vérifiant V(x)=O(^{-(n+2)/2-\epsilon}). J'améliore aussi les résultats de Journé, Soffer et Sogge dans le cas où le potentiel vérifie des hypothèses de régularité. En dimension n=2, je prouve, en m'appuyant sur les estimations prouvées lors de l'étude de l'équation des ondes, des estimations dispersives à hautes fréquences toujours pour une classe de potentiels à valeurs réelles.
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