Mellin transform on sheaves and D-modules
Transformation de Mellin faisceautique et D-modules
Résumé
In a first part, we describe the complex of solutions of the algebraic Mellin transform of a D-module M in terms of the solutions of M. In order to do that, we define a Mellin transform functor on sheaves. We show the Mellin transform of the complex of fast decreasing solutions of a regular holonomic D-module M is quasi-isomorphic with the complex of solutions of the algebraic Mellin transform of M, the assumption of regularity not being necessary in the one variable case.
In a second part, we study the inverse Mellin transformation: our results are less complete. We define an inverse Mellin transform functor on sheaves. We show there are natural morphisms connecting the complex of solutions of the inverse algebraic Mellin transform of a finite difference module with the inverse Mellin transform of the complex of solutions with growth at most exponential of order 1 at infinity in vertical bands. We then show that, in the case of a one variable difference module with only one positive slope, these morphisms are isomorphisms.
In a second part, we study the inverse Mellin transformation: our results are less complete. We define an inverse Mellin transform functor on sheaves. We show there are natural morphisms connecting the complex of solutions of the inverse algebraic Mellin transform of a finite difference module with the inverse Mellin transform of the complex of solutions with growth at most exponential of order 1 at infinity in vertical bands. We then show that, in the case of a one variable difference module with only one positive slope, these morphisms are isomorphisms.
Dans un premier temps, nous décrivons le complexe des solutions du transformé de Mellin algébrique d'un D-module M en fonction des solutions de M. Pour cela, nous définissons un foncteur de transformation de Mellin faisceautique. Nous montrons alors que le transformé de Mellin du complexe des solutions à décroissance rapide en 0 et à l'infini d'un D-module holonome régulier M est quasi-isomorphe au complexe des solutions du transformé de Mellin algébrique de M, l'hypothèse de régularité n'étant plus nécessaire à une variable.
Dans un second temps, nous faisons un travail analogue avec la transformation de Mellin inverse : les résultats sont plus partiels. Nous définissons une transformation de Mellin inverse faisceautique. Nous démontrons alors qu'il existe des morphismes naturels reliant le complexe des solutions du transformé de Mellin inverse algébrique d'un module aux différences avec le transformé de Mellin inverse faisceautique du complexe des solutions à croissance au plus exponentielle d'ordre 1 à l'infini dans des bandes verticales. Nous montrons ensuite que dans le cas d'un module aux différences à une variable et à une seule pente strictement positive, ces morphismes sont des isomorphismes.
Dans un second temps, nous faisons un travail analogue avec la transformation de Mellin inverse : les résultats sont plus partiels. Nous définissons une transformation de Mellin inverse faisceautique. Nous démontrons alors qu'il existe des morphismes naturels reliant le complexe des solutions du transformé de Mellin inverse algébrique d'un module aux différences avec le transformé de Mellin inverse faisceautique du complexe des solutions à croissance au plus exponentielle d'ordre 1 à l'infini dans des bandes verticales. Nous montrons ensuite que dans le cas d'un module aux différences à une variable et à une seule pente strictement positive, ces morphismes sont des isomorphismes.
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