Structures latticielles, correspondances de Galois contraintes et classification symbolique
Résumé
This thesis is in the field of the latticial analysis of data in the situation, very general, where objects of various nature are described by variables of various types; one makes simply the assumption (realistic) according to which each variable takes his values in a lattice. The problems of processing of such data (extraction of knowledge) often amount seeking to obtain Moore families of a particular type, for example arborescent, and thus to impose structural constraints. Within this framework, we study initially particular Moore families, hierarchies, of which we characterize the implicational canonical basis. With this intention, we introduce a new type of binary relations on subsets of a set, called (\em overhanging relations). We put them in a one-to-one correspondence with unspecified Moore families, establish their bond with one of the arrow relations, and reconsider their properties in the hierarchical case, where they initially appeared. In one second part, we are interested in the Galois connection associated with a binary table (to which data of the type indicated above can always be brought back). We examine the constraints then to be imposed on a binary table so that closed sets obtained belong to prescribed Moore families, or of desired type. We then obtained some binary relations called (\em biclosed). Given two closure spaces $(E, \varphi)$ and $(E', \varphi')$, a relation is biclosed if any line of its matric representation corresponds to a closed set by $\varphi$, and any column with a closed set by $\varphi'$. We establish an isomorphism between the set of biclosed relations and that of Galois connections between the two lattices of closed sets induced by $\varphi$ and $\varphi'$. In the finite case, we deduce some effective algorithms for the adjustment of a Galois connection to an unspecified mapping between two lattices, or for the calculation of the join of two polarities. In a third part, we apply the preceding results to the study of the introduction of classifying constraints to a data table. We reconsider various uses of Galois connections (or the couples residuated / residual mappings) in models and methods of classification. Those are revisited in the optics of a unified frame based on bicloseds, and, by taking of account the results of the first part, differents ways are traced for definition of new methods. These parts are preceded by a synthesis on lattices and Galois connections.
La thèse se situe dans le domaine de l'analyse latticielle de données dans la situation, très générale, ou des objets de nature diverse sont décrits par des variables de types divers ; on fait simplement l'hypothèse (réaliste) selon laquelle chaque variable prend ses valeurs dans un treillis. Les problèmes de traitement de telles données (extraction de connaissance) reviennent souvent à chercher à obtenir des familles de Moore de type particulier, par exemple arborescent, et donc à imposer des contraintes structurelles. Dans ce cadre, nous étudions d'abord les familles de Moore particulières que sont les hiérarchies, dont nous caractérisons la base canonique d'implications. Pour ce faire, nous introduisons un nouveau type de relations binaires sur les parties d'un ensemble, appelées (\em relations d'emboitement). Nous les mettons en correspondance bi-univoque avec les familles de Moore quelconques, établissons leur lien avec l'une des relations flèche, et revenons sur leurs propriétés dans le cas hiérarchique, ou elles sont d'abord apparues. Dans une seconde partie, nous nous intéressons à la correspondance de Galois associée à un tableau binaire (auquel les données du type indiqué ci-dessus peuvent toujours être ramenées). Nous examinons alors les contraintes à imposer à un tableau binaire pour que les fermés obtenus appartiennent à des familles de Moore prescrites, ou de type voulu. On obtient alors des relations binaires dites (\em bifermées). Etant donnés deux espaces de fermeture $(E, \varphi)$ et $(E', \varphi')$, une relation est bifermée si toute ligne de sa représentation matricielle correspond à un fermé par $\varphi$, et toute colonne à un fermé par $\varphi'$. Nous établissons l'isomorphisme entre l'ensemble des relations bifermées et celui des correspondances de Galois entre les deux treillis de fermés induits par $\varphi$ et $\varphi'$. Dans le cas fini, on en déduit des algorithmes efficaces pour l'ajustement d'une correspondance de Galois à une application quelconque entre deux treillis, ou pour le calcul du supremum de deux polarités. Dans une troisième partie, nous appliquons les résultats précédents à l'étude de l'introduction de contraintes classificatoires sur un tableau de données. Nous revenons sur divers usages des correspondances de Galois (ou des couples application résiduée / résiduelle) dans les modèles et les méthodes de la classification. Ceux-ci sont revisités dans l'optique d'une présentation unifiée fondée sur les bifermées, et, en prenant en compte les résultats de la première partie, des voies sont tracées pour la définition de nouvelles méthodes. Ces parties sont précédées d'une synthèse sur les treillis et les correspondances de Galois.