Cellular diagonals of permutahedra
Diagonales cellulaires des permutaèdres
Résumé
We provide a systematic enumerative and combinatorial study of geometric cellular diagonals on the permutahedra. In the first part of the paper, we study the combinatorics of certain hyperplane arrangements obtained as the union of $\ell$ generically translated copies of the classical braid arrangement. Based on Zaslavsky's theory, we derive enumerative results on the faces of these arrangements involving combinatorial objects named partition forests and rainbow forests. This yields in particular nice formulas for the number of regions and bounded regions in terms of exponentials of generating functions of Fuss-Catalan numbers. By duality, the specialization of these results to the case $\ell = 2$ gives the enumeration of any geometric diagonal of the permutahedron.
In the second part of the paper, we study diagonals which respect the operadic structure on the family of permutahedra. We show that there are exactly two such diagonals, which are moreover isomorphic. We describe their facets by a simple rule on paths in partition trees, and their vertices as pattern-avoiding pairs of permutations. We show that one of these diagonals is a topological enhancement of the Sanbeblidze-Umble diagonal, and unravel a natural lattice structure on their sets of facets.
In the third part of the paper, we use the preceding results to show that there are precisely two isomorphic topological cellular operadic structures on the families of operahedra and multiplihedra, and exactly two infinity-isomorphic geometric universal tensor products of homotopy operads and A-infinity morphisms.
Nous proposons une étude combinatoire et énumérative systématique des diagonales cellulaires géométriques sur les permutaèdres. Dans la première partie de l'article, nous étudions la combinatoire de certains arrangements d'hyperplans obtenus comme l'union de $\ell$ copies de l'arrangement de tresse translatées génériquement. À l'aide de la théorie de Zaslavsky, nous dérivons des résultats énumératifs sur les faces de ces arrangements impliquant des objets combinatoires appelés forêts de partitions et forêts arc-en-ciel. Cela donne en particulier de belles formules pour le nombre de régions et de régions bornées en termes d'exponentielles des fonctions génératrices des nombres de Fuss-Catalan. Par dualité, la spécialisation de ces résultats au cas $\ell = 2$ donne l'énumération des faces de toute diagonale géométrique du permutaèdre.
Dans la seconde partie de l'article, nous étudions les diagonales qui respectent la structure opéradique sur la famille des permutaèdres. Nous montrons qu'il existe exactement deux diagonales de ce type, qui sont en outre isomorphes. Nous décrivons leurs facettes par une règle simple sur les chemins dans les arbres de partitions, et leurs sommets comme des paires de permutations évitant des motifs. Nous montrons que l'une de ces diagonales est une version topologique de la diagonale de Sanbeblidze-Umble, et nous définissons une structure naturelle de treillis sur leurs ensembles de facettes.
Dans la troisième partie de l'article, nous utilisons les résultats précédents pour montrer qu'il existe précisément deux structures opéradiques topologiques cellulaires isomorphes sur les familles des opéraèdres et des multiplièdres, et exactement deux produits tensoriels géométriques universels isomorphes d'opérades à homotopie près et de morphismes A-infini.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)