Topological proofs of categorical coherence

Preuves topologiques de cohérence catégorique

Pierre-Louis Curien (1) , Guillaume Laplante-Anfossi (2)

1 IRIF (UMR_8243) - Institut de Recherche en Informatique Fondamentale
2 University of Melbourne

We give a short topological proof of coherence for categorified non-symmetric operads by using the fact that the diagrams involved form the 1-skeleton of simply connected CW complexes. We also obtain a ``one-step'' topological proof of Mac Lane's coherence theorem for symmetric monoidal categories, as suggested by Kapranov in 1993. Our analysis is based on a notion of combinatorial homotopy, which we further study in the special case of polyhedral complexes, leading to a second geometrical proof of coherence which is very close to Mac Lane's original argument. We use Morse theory to show that this second method is strictly less general than the first. We provide a detailed analysis of how both methods allow us to deduce these two categorical coherence results and discuss possible generalizations to higher categories.

Nous présentons une courte preuve topologique de cohérence pour les opérades non-symétriques catégorifiées, en se servant du fait que les diagrammes en question constituent le 1-squelette de CW complexes simplement connexes. Nous obtenons également une preuve topologique "en une étape" du théorème de cohérence de MacLane pour les catégories monoïdales symétriques, tel que proposé par Kapranov en 1993. Notre analyse se base sur une notion combinatoire d'homotopie, que l'on étudie dans le cas particulier des complexes polyédraux. Ceci nous mène à une deuxième preuve géométrique de cohérence qui suit de près la preuve originale de MacLane. Nous utilisons la théorie de Morse pour montrer que cette méthode est strictement moins générale que la première et discutons de généralisations possibles aux catégories supérieures.

Mots clés: February 15 2023. 2010 Mathematics Subject Classification. Primary 18N20 Secondary 52B11 Categorified operads categorical coherence Seifert-Van Kampen theorem polytopes MacLane coherence theorem rewriting theory Morse theory; February 15; 2023. 2010 Mathematics Subject Classification. Primary 18N20; Secondary 52B11 Categorified operads; categorical coherence; Seifert-Van Kampen theorem; polytopes; MacLane coherence theorem; rewriting theory; Morse theory

Domaines: Topologie algébrique [math.AT]; Combinatoire [math.CO]; Catégories et ensembles [math.CT]; Algèbres quantiques [math.QA]

Pierre-Louis Curien, Guillaume Laplante-Anfossi. Topological proofs of categorical coherence. 2024. ⟨hal-03991861v2⟩