We consider a natural analogue of Brownian motion on free orthogonal quantum groups and prove that it exhibits a cuto at time N ln(N). Then, we study the induced classical process on the real line and compute its atoms and density. This enables us to nd the cuto prole, which involves free Poisson distributions and the semicircle law. We prove similar results for quantum permutations and quantum random transpositions. Résumé Nous considérons un analogue naturel du mouvement brownien sur les groupes libres quantiques orthogonaux et montrons qu'il a une coupure au temps N ln(N). Nous étudions ensuite le processus classique induit sur la droite réelle et calculons ses atomes et sa densité. Cela nous permet de trouver le prol de coupure, qui fait intervenir des lois de Poisson libres et la loi du semi-cercle. Nous prouvons des résultats similaires pour les permutations quantiques et les transpositions aléatoires quantiques.