On a conjecture of Breuil–Herzig
Sur une conjecture de Breuil–Herzig
Résumé
Let $G$ be a split p-adic reductive group with connected centre and simply connected derived subgroup. We show that certain “chains” of principal series of $G$ do not exist and we establish several properties of the Breuil–Herzig construction $\Pi(\rho)^{\mathrm{ord}}$. In particular, we obtain a natural characterization of the latter and we prove a conjecture of Breuil–Herzig. In order to do so, we partially compute Emerton’s $\delta$-functor $\mathrm{H^{\bullet}Ord}_{P}$ of derived ordinary parts with respect to a parabolic subgroup on a principal series. We formulate a new conjecture on the extensions between smooth mod $p$ representations of $G$ parabolically induced from supersingular representations of Levi subgroups of $G$ and we prove it in the case of extensions by a principal series.
Soit $G$ un groupe réductif p-adique de centre connexe et de groupe dérivé simplement connexe. Nous montrons que certaines “chaînes” de séries principales de $G$ n’existent pas et nous établissons plusieurs propriétés de la construction $\Pi(\rho)^{\mathrm{ord}}$ de Breuil–Herzig. En particulier, nous obtenons une caractérisation naturelle de cette dernière et nous démontrons une conjecture de Breuil–Herzig. Pour cela, nous calculons le $\delta$-foncteur $\mathrm{H^{\bullet}Ord}_{P}$ des parties ordinaires dérivées d’Emerton relatif à un sous-groupe parabolique $P$ de $G$ sur une série principale. Nous énonçons une nouvelle conjecture sur les extensions entre représentations lisses modulo $p$ de $G$ obtenues par induction parabolique à partir de représentations supersingulières de sous-groupes de Levi de $G$ et nous la démontrons pour les extensions par une série principale.