The Collatz functions and their properties
Les fonctions de Collatz et leurs propriétés
Résumé
La fonction de Collatz est définie sur l’ensemble des entiers naturels tel que pour un entier N quelconque si N est pair, on le devise par 2 si non, on le multiplie par 3 puis on l’ajoute 1 et la somme obtenue est divisée par 2. Selon la conjecture de Collatz, cette fonction a la propriété de générer des suites dont les premiers termes sont des entiers naturels non nuls qui atteignent toujours 1 après un nombre fini des opérations quelque soit l’entier de départ. En se basant sur cette propriété et sur la définition de la fonction de Collatz, on peut généraliser la notion de la fonction de Collatz pour designer n’importe qu’elle autre fonction que définie sur un ensemble infini des nombres réels tel que les suites générée par une telle fonction atteignent toujours un cycle unique après un nombre fini des opérations. On montre dans cet article qu’on peut définir une infinité des fonctions de ce genre qu’on peut l’appeler aussi les fonctions de Collatz possédant cette même propriété tel que chaque fonction est définie sur un ensemble qui se comporte toujours comme une suite arithmétique de raison arithmétique un réel non nul quelconque r et de premier terme un réel quelconque x0. On montre qu’une telle fonction a la propriété de générée des suites qui convergent toujours vers le cycle unique de deux réels (x0, x0+r) après un nombre fini des itérations. On montre aussi que la relation entre la fonction originale de Collatz et n’importe qu’elle autre fonction de Collatz qui définie sur une suite arithmétique donnée peut être exprimée sous forme d’une équation linéaire.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)