Equivalence between dynamic mode decomposition and temporal discrete Fourier transform for zero mean numerical and experimental data. Analytical solution. Applications to 3D CFD results and to experimental films
Equivalence entre décomposition en mode dynamique et transformée de Fourier discrète pour des données numériques et expérimentales de moyenne nulle. Solution analytique. Applications à des résultats de CFD 3D et à des films expérimentaux
Résumé
The equivalence between dynamic mode decomposition and discrete Fourier transform for numerical and experimental data, the mean of which in each set equals zero, is used to propose an analytical solution for the DMD, which is equivalent to the equations for the DFT. This solution is an exact solution, based on the reduction of all the snapshots by the mean of the whole sequence, which is also the rigid mode (not time dependant) of the considered sequence. The sampling time step is assumed to be constant. The time dependant evolution of the modal shapes is a linear combination of all the reduced snapshots, the weight functions being the results of the analytical solution. The frequency of each mode remains constant in the time. No matrix processing is required to describe the modal behaviour of the sequence. The error of this DMD analysis solution comes only from the data themselves : the time step, the snapshots number, and the snapshots values. This simple solution allows to process in a quite short time a great amount of data, the limit of which is the computer RAM size. Dealing with a great number of snapshots allows, in one hand, to compensate some disadvantages outlined for the DFT, and on the other hand, to bring out better the preponderant modes and to make continuous videos of the selected modes shapes. After an academic validation case, typically unsteady and transient, dealing with 50000 snapshots and 125000 values per snapshot, two application examples of this DMD analysis solution are then presented : the first one concerns some 3D CFD results (25500 snapshots, 289000 values per snapshot), and the second one concerns the images extracted from two experimental films (16000 snapshots, 524000 values per snapshot).
L’équivalence entre la décomposition en mode dynamique et la transformation de Fourier discrète pour des données numériques et expérimentales, dont la moyenne dans chaque ensemble est égale à zéro, est utilisée pour proposer une solution analytique pour la DMD, qui est équivalente aux équations pour la TFD. Cette solution est une solution exacte, basée sur la réduction de tous les clichés par la moyenne de la séquence entière, qui est également le mode rigide (non dépendant du temps) de la séquence considérée. Le pas de temps d’échantillonnage est supposé constant. L’évolution temporelle des déformées modales est une combinaison linéaire de tous les clichés réduits, les fonctions de pondération étant les résultats de la solution analytique. La fréquence de chaque mode reste constante dans le temps. Aucun traitement matriciel n’est nécessaire pour décrire le comportement modal de la séquence. L’erreur de cette méthode d’analyse DMD provient uniquement des données elles-mêmes : le pas de temps, le nombre de clichés et les valeurs des clichés. Cette solution simple permet de traiter sur une durée assez courte une grande quantité de données, dont la limite est la taille de la RAM de l’ordinateur. Traiter un grand nombre de clichés permet, d’une part, de compenser certains inconvénients décrits pour la DFT, et d’autre part, de mieux faire ressortir les modes prépondérants et de construire des vidéos continues des déformées des modes sélectionnés. Après un cas de validation académique, typiquement instationnaire et transitoire, traitant 50000 clichés et 125000 valeurs par cliché, deux exemples d’application de cette méthode d’analyse DMD sont ensuite présentés : le premier concerne des résultats de CFD 3D (25500 instantanés, 289000 valeurs par instantané), et le deuxième concerne les images extraites de deux films expérimentaux (16000 clichés, 524000 valeurs par cliché).
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)