Long time behavior of solutions for a damped Benjamin-Ono equation
Comportement en temps long de solutions pour une équation de Benjamin-Ono amortie
Résumé
We consider the Benjamin-Ono equation on the torus with an additional damping term on the smallest Fourier modes (cos and sin). We first prove global well-posedness of this equation in $L^2_{r,0}(\mathbb{T})$. Then, we describe the weak limit points of the trajectories in $L^2_{r,0}(\mathbb{T})$ when time goes to infinity, and show that these weak limit points are strong limit points. Finally, we prove the boundedness of higher-order Sobolev norms for this equation. Our key tool is the Birkhoff map for the Benjamin-Ono equation, that we use as an adapted nonlinear Fourier transform.
On considère une équation de Benjamin-Ono sur le tore amortie par les petits modes de Fourier (cos et sin). On montre d'abord le caractère bien posé de cette équation dans $L^2_{r,0}(\mathbb{T})$. Ensuite, on décrit les limites faibles des trajectoires dans $L^2_{r,0}(\mathbb{T})$ lorsque le temps tend vers l'infini, et on prouve que ces limites faibles sont des limites fortes. Enfin, on montre que les normes de Sobolev d'ordre supérieur restent bornées pour cette équation. Notre outil principal est la transformation de Birkhoff pour l'équation de Benjamin-Ono, que nous utilisons comme une transformée de Fourier non linéaire.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
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